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Cours, exercices et corrections en SI

Statique

Cours 13 septembre 2013, par Hadrien Bainier

La statique est une simplification de la dynamique qui considère que le système étudié est immobile. On étudie alors la transmission des efforts dans le système.

 1- Introduction

Le principe fondamental de la statique est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique qui sera vu en deuxième année.

Pour un solide S :

Principe fondamental de la dynamique Principe fondamental de la statique
m \vec{a(G \in S/R)} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow   S} \vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow S}
\forall A \text{ } \vec{\delta(A \in S/R)} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow   S} \forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow S}

++++

 2- PFS pour un solide

2.1- Sous forme vectorielle

2.1.1- Théorème de la résultante statique

 \vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow S}

2.1.2- Théorème du moment statique en A

\forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow S}

2.2- Sous forme torsorielle

On réécrit précisément la même chose sous forme torsorielle :


\left\{
\begin{array}{r c l}
 \vec{0} \\
\vec{0}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow S}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow S})}}
\end{array}
\right\}_{A}

++++

 3- PFS pour deux solides \Sigma = S_{1} \bigcup S_{2}

3.1- Sous forme vectorielle

3.1.1- Théorème de la résultante statique

 \vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow \Sigma}

3.1.2- Démonstration

On applique le théorème de la résultante statique à S_{1} en distinguant les efforts de S_{2} sur S_{1} et les efforts de l’extérieur de \Sigma sur S_{1} :

 \vec{0}= \vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}} +\vec{F}_{ext \rightarrow S_{1}}

On applique le théorème de la résultante statique à S_{2} en distinguant les efforts de S_{1} sur S_{2} et les efforts de l’extérieur de \Sigma sur S_{2} :

\vec{0}= \vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}} +\vec{F}_{ext \rightarrow S_{2}}

On fait la somme :

\vec{0}= \vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}} +\vec{F}_{ext \rightarrow \S_{1}} +\vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}} +\vec{F}_{ext \rightarrow S_{2}}

On tient compte de la troisième loi de Newton : \vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}} =-\vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}}

On a donc :

 \vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow \Sigma}

3.1.3- Théorème du moment statique en A

\forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow \Sigma}

On applique le théorème du moment statique à S_{1} en A en distinguant les efforts de S_{2} sur S_{1} et les efforts de l’extérieur de \Sigma sur S_{1} :

 \vec{0}= \vec{M}_{A,S_{2} \rightarrow S_{1}} +\vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{1}}

On applique le théorème du moment statique à S_{2} en A en distinguant les efforts de S_{1} sur S_{2} et les efforts de l’extérieur de \Sigma sur S_{2} :

 \vec{0}= \vec{M}_{A,S_{1} \rightarrow S_{2}} +\vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{2}}

On fait la somme :

\vec{0}= \vec{M}_{A,S_{2} \rightarrow S_{1}} +\vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{1}} +\vec{M}_{A,S_{1} \rightarrow S_{2}} +\vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{2}}

On tient compte de la troisième loi de Newton :

\vec{M}_{A,S_{2} \rightarrow S_{1}} =-\vec{M}_{A,S_{1} \rightarrow S_{2}}

On a donc :

\vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow \Sigma}

3.2- Sous forme torsorielle

On réécrit précisément la même chose sous forme torsorielle :


\left\{
\begin{array}{r c l}
 \vec{0} \\
\vec{0}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

++++

 4- PFS pour un ensemble de solides \Sigma = \bigcup S_{i}

 

4.1- Sous forme vectorielle

4.1.1- Théorème de la résultante statique

 \vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow \Sigma}

4.1.2- Théorème du moment statique en A

\forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow \Sigma}

4.2- Sous forme torsorielle

On réécrit précisément la même chose sous forme torsorielle :


\left\{
\begin{array}{r c l}
 \vec{0} \\
\vec{0}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

++++

 5- Application à un solide soumis à 2 glisseurs

(i.e 2 forces pas de moment)

5.1- Théorème

Pour un solide soumis à 2 glisseurs les forces sont de norme égale, opposés et dans la direction des points d’application.

5.1.1- Démonstration

A priori les efforts sont quelconques on a :

Montrons que les efforts sont de norme égale, et opposés.
On applique le théorème de la résultante statique :

 \vec{F}_{1,ext \rightarrow S} + \vec{F}_{2,ext\rightarrow S} = \vec{0}
donc  \vec{F}_{1,ext \rightarrow S}= -\vec{F}_{2,ext \rightarrow S}

On a donc des efforts opposés, on a :

Montrons que les efforts sont dans la direction des points d’application.

On applique le théorème du moment statique au solide S exprimé au point A (i.e : \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow S}=\vec{0})

 \vec{M}_{A,F_{1} \rightarrow S} + \vec{M}_{A,F_{2} \rightarrow S}=\vec{0}

 \vec{AA} \wedge \vec{F_{1,ext \rightarrow S}} + \vec{AB} \wedge \vec{F_{2,ext \rightarrow S}} =\vec{0}

\vec{AB} \wedge \vec{F_{2,ext \rightarrow S}} =\vec{0}

Pour que le produit vectoriel \vec{AB} \wedge \vec{F_{2,ext \rightarrow S}} =\vec{0} soit nul il faut que \vec{F_{2,ext \rightarrow S}} soit colinéaire à \vec{AB}

Conclusion \vec{F_{2,ext \rightarrow S}} est suivant la direction \vec{AB}. On a l’une des configurations suivantes :


ou

5.1.2- Remarque

La forme du solide S ne joue pas dans la direction ou la norme des efforts :


++++

 6- Application à un solide soumis à 3 glisseurs

(i.e 3 forces pas de moment)

6.1- Théorème

Pour un solide soumis à 3 forces les forces sont dans le même plan et elles sont :

  • soit colinéaires
  • soit concourantes en un même point
6.1.1- Démonstration

A priori les efforts sont quelconques, montrons que les efforts sont coplanaires.
On applique le théorème de la résultante statique (i.e \sum \vec{F}_{ext \rightarrow S}=\vec{0})

\vec{F}_{1,ext \rightarrow S}+\vec{F}_{2,ext \rightarrow S}+\vec{F}_{3,ext \rightarrow S} =\vec{0}

donc :

\vec{F}_{3,ext \rightarrow S} =-\vec{F}_{1,ext \rightarrow S}-\vec{F}_{2,ext \rightarrow S}

Les vecteurs \vec{F}_{1,ext \rightarrow S} , \vec{F}_{2,ext \rightarrow S} , \vec{F}_{3,ext \rightarrow S} sont donc coplanaires.


Comme les vecteurs sont coplanaires on peut maintenant travailler dans le plan, on a alors deux configurations possibles :

(B, \vec{F_{2,ext \rightarrow S}}) et (C,\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}) ne se coupent pas (B,\vec{F_{2,ext \rightarrow S}}) et (C,\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}) se coupent en D

Montrons que dans le cas où (B,\vec{F_{2,ext \rightarrow S}}) et (C,\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}) se coupent en D les efforts sont concourants en D.

On écrit le théorème du moment statique en D (i.e \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow S}=\vec{0} )

 \vec{DA} \wedge 
\vec{F_{1,ext \rightarrow S}} + \vec{DB} \wedge 
\vec{F_{2,ext \rightarrow S}} +  \vec{DC} \wedge 
\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}

D est le point d’intersection de (B,\vec{F_{2,ext \rightarrow S}}) et (C,\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}) donc \vec{DB} \wedge 
\vec{F_{2,ext \rightarrow S}}=\vec{0} et \vec{DC} \wedge 
\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}=\vec{0}

On a donc :
 \vec{DA} \wedge 
\vec{F_{1,ext \rightarrow S}} + \cancel{\vec{DB} \wedge 
\vec{F_{2,ext \rightarrow S}}} +  \cancel{\vec{DC} \wedge 
\vec{F_{3,ext \rightarrow S}}} =\vec{0}

 \vec{DA} \wedge 
\vec{F_{1,ext \rightarrow S}} =\vec{0}

6.1.2- Remarque

Les théorèmes sur le solide S soumis à 2 ou 3 glisseurs se généralisent de la même façon à un ensemble de solides \Sigma = \bigcup S_{i}. Pour le démontrer il suffit de reprendre la démonstration en utilisant le principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides \Sigma = \bigcup S_{i}.

++++

 7- Bilan

7.1- Principe fondamental de la statique pour un solide S

7.1.1- Sous forme vectorielle
Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique en A
\vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow S}  \forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow S}
7.1.2- Sous forme torsorielle

On réécrit précisément la même chose sous forme torsorielle :


\left\{
\begin{array}{r c l}
 \vec{0} \\
\vec{0}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow S}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow S})}}
\end{array}
\right\}_{A}

7.2- Principe fondamental de la statique pour un ensemble de solides \Sigma = \bigcup S_{i}

On a les mêmes théorèmes que pour un seul solide S.

7.2.1- Sous forme vectorielle
Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique en A
\vec{0} = \sum \vec{F}_{ext \rightarrow \Sigma} \forall A \text{ } \vec{0} = \sum \vec{M}_{A,ext \rightarrow \Sigma}
7.2.2- Sous forme torsorielle

On réécrit précisément la même chose sous forme torsorielle :


\left\{
\begin{array}{r c l}
 \vec{0} \\
\vec{0}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

7.2.3- Application à un solide soumis à 2 glisseurs (i.e 2 forces pas de moment)

Pour un solide soumis à 2 glisseurs les forces sont opposées et dans la direction des points d’application.

7.2.4- Application à un solide soumis à 3 glisseurs (i.e 3 forces pas de moment)

Pour un solide soumis à 3 forces les forces sont dans le même plan, elles sont :

  • soit colinéaires
  • soit concourantes en un même point
7.2.5- Remarque

Les théorèmes sur le solide S soumis à 2 ou 3 glisseurs se généralisent de la même façon à un ensemble de solides \Sigma = \bigcup S_{i}.

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