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Cours, exercices et corrections en SI

Méthode des éléments finis

Cours 14 septembre 2013, par Hadrien Bainier

En partant des équations régissant la mécanique des milieux continus (cf Mécanique des milieux continus), ce cours expose les fondements mathématiques de cette méthode permettant de résoudre de manière approchée des problèmes de mécanique insolvables de manière analytique.

 1- Deux problèmes de référence

1.1- Problème de référence en élasticité

On cherche (\underline{u},\underline{\underline{\sigma}}) qui vérifient :

Les conditions limites :

  • \underline{u}=\underline{u}_{d} sur \partial \Omega_{1}
  • \underline{\underline{\sigma}}.\underline{n}_{ext}=\underline{F}_{d} sur \partial \Omega_{2}

L’équilibre :

  • \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}} = div(\underline{\underline{\sigma}} )+\underline{f}_{d}

La relation de comportement :

  • \underline{\underline{\sigma}}= K \underline{\underline{\epsilon}}
    avec \underline{\underline{\epsilon}}= \frac{1}{2}(\underline{\underline{grad}} \underline{u} +\underline{\underline{grad}} \underline{u}^{t})

1.2- Problème de référence en thermique

On cherche (T,\underline{j}_{th}) qui vérifient :

Les conditions limites :

  • T=T_{d} sur \partial \Omega_{1}
  • \underline{j}_{th}.\underline{n}_{ext}=q_{d} sur \partial \Omega_{2}

L’équilibre :

  • \rho c \frac{\partial T}{\partial t}=div(\underline{j}_{th} )+q

La relation de comportement :

  • \underline{j}_{th}= -\lambda \underline{grad} T

1.3- Formulation variationnelle

1.3.1- Précautions oratoires

On ne s’intéresse pas ici à décrire proprement le cadre mathématique de la méthode des éléments finis. Le but est de présenter avec les mains l’idée générale.

1.3.2- Idée

Au lieu de résoudre une équation du type f(x) =0

On résout une équation :\forall g(x)
f(x)g(x)=0

1.3.3- Remarque
  • Le \forall g(x) est primordial, c’est parce que le produit avec n’importe quelle fonction est nul que la fonction f(x) est nulle.
  • (pour l’élasticité on remplacera la fonction f ci dessus par l’équation d’équilibre \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}-
(div(\underline{\underline{\sigma}})+f)=\underline{0} , pour la thermique on remplacera la fonction f par l’équation d’équilibre thermique \rho c \frac{\partial T}{\partial t} - (-div (\underline{j}_{th}) + q)=0 )
1.3.4- En pratique

En pratique on s’impose souvent la solution en des points précis : en élasticité par exemple on s’impose \underline{U}=\underline{U}_{d} sur une partie du bord \partial \Omega_{1} ou encore en thermique on s’impose T=T_{d} sur une partie du bord \partial \Omega_{1}.

Pour résoudre ce problème on va multiplier la fonction f(x)=0 par une fonction g(x) qui est nulle là où la solution est connue : en élasticité par exemple on prendra g telle que g=0 sur la partie du bord où on connaît le déplacement \partial \Omega_{1} ou encore en thermique on s’imposera g=0 sur la partie du bord \partial \Omega_{1} où l’on connaît déjà la température.

On résout alors par méthode variationnelle le problème là où la solution n’est pas déjà connue. En ajoutant la partie de la solution qui est connue on en déduit la solution complète.

++++

 2- Formulation variationnelle en élasticité

On veut vérifier les équations du problème de référence en élasticité.

On part de l’équation d’équilibre local :
 \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}} = div(\underline{\underline{\sigma}} )+\underline{f}
On multiplie par \underline{v} un vecteur quelconque tel que \underline{v} soit cinématiquement admissible à 0 (i.e : \underline{v}=0 sur \partial \Omega_{1}).
 \forall \underline{v} \in CA_{0}
\rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = div(\underline{\underline{\sigma}} )\underline{v}+\underline{f}\underline{v}
On intègre sur tout le domaine \Omega
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = \int_{\Omega} div(\underline{\underline{\sigma}} )\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}
On utilise la formule de Gauss Green : intégration par partie généralisée :
 div(\underline{\underline{\sigma}} \underline{v})= div(\underline{\underline{\sigma}}) \underline{v}+ Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times  \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v}))
On obtient :
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = \int_{\Omega} div(\underline{\underline{\sigma}} \underline{v})-\iiint_{\Omega} Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v})) +\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}
Puis on utilise le théorème de la divergence :
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = \int_{\partial \Omega} \underline{\underline{\sigma}} \underline{v}\underline{n}_{ext}-\int_{\Omega} Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v})) +\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}
Enfin on sépare \partial \Omega= \partial \Omega_{1} + \partial \Omega_{2} pour tenir compte du fait que : \underline{v}=\underline{0} sur \partial \Omega_{1}. (On peut permuter le \underline{v} et le \underline{n}_{ext} dans le produit \underline{\underline{\sigma}}\underline{v}\underline{n}_{ext} car \underline{\underline{\sigma}}=\underline{\underline{\sigma}}^{T} ).
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = \int_{\partial \Omega_{1}} \underline{\underline{\sigma}} \underline{v}\underline{n}_{ext}+\int_{\partial \Omega_{2}} \underline{\underline{\sigma}} \underline{v}\underline{n}_{ext}-\int_{\Omega} Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v})) +\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{\underline{\sigma}} \underline{v}\underline{n}_{ext}-\int_{\Omega} Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v})) +\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = -\int_{\Omega} Tr( \underline{\underline{\sigma}} \times \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v}))+ \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

On tient maintenant compte du fait que : \underline{\underline{\sigma}}= \underline{\underline{K}} \times \underline{\underline{\epsilon}}(u)

 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = -\int_{\Omega} \underline{\underline{K}} \times \underline{\underline{\epsilon}}(u) \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v}))+ \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

++++

 3- Application au calcul poutre

3.1- Idée

On doit résoudre l’équation :
 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = -\int_{\Omega} \underline{\underline{K}} \times \underline{\underline{\epsilon}}(u) \underline{\underline{\epsilon }}(\underline{v})+ \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}
sur tout le solide.

On va découper le domaine en plusieurs parties, on appellera chaque partie un élément. On va résoudre l’équation sur chaque élément au lieu de la résoudre sur toute la structure.

3.2- Exemple d’introduction : poutre en traction à 2 éléments

On considère une poutre de module d’Young E de section S et de longueur 2L.

On décide de partager la poutre en deux éléments poutre.
On ne s’intéresse plus au déplacement dans toute la poutre mais au déplacement aux nœuds.
On pose :
 \underline{u}= \pmatrix{
u_{1} & u_{2} & u_{3}
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} \cr  \underline{\phi_{3}}
} \underline{v}= \pmatrix{
v_{1} & v_{2} & v_{3}
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} \cr  \underline{\phi_{3}}
}
avec : v_{i}=0 sur \partial \Omega_{1}

3.2.1- Remarque

Le vecteur (u_{i}) ne dépend que du temps.Le vecteur (\underline{\phi_{i}}) ne dépend que de la position (i.e x).

3.2.2- Remarque

Le déplacement (représenté en rouge) est volontairement représenté en vertical pour ne pas surcharger la figure. En réalité le déplacement du nœud de la poutre soumise à de la traction est naturellement dans le sens de la poutre.

On introduit les fonctions de forme \underline{\Phi}(x)

On considère le premier élément de poutre :

On va résoudre sur cet élément l’équation que l’on a écrite précédemment :

 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}\underline{u}}{dt^{2}}\underline{v} = -\int_{\Omega} k \times \frac{\partial u}{\partial x} \underline{x}\times \frac{\partial v}{\partial x} \underline{x}+ \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

Sur une poutre on a 1 dimension en espace (1
coordonnée x) : en conséquence les gradients
deviennent des dérivées par rapport à la coordonnée
x.

 \int_{\Omega} \rho \frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{1} & u_{2} 
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} 
}\pmatrix{
v_{1} & v_{2} 
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} 
} = -\int_{\Omega} E \times \frac{\partial}{\partial x} (\pmatrix{
u_{1} & u_{2} 
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}}
}) 
\frac{\partial}{\partial x} (\pmatrix{
v_{1} & v_{2} 
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}}
})
+ \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

On intègre sur l’espace, on peut donc sortir les (u_{i}) et les (v_{i})

 \frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{1} & u_{2} }
( \int_{\Omega} \rho 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} }
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} & \underline{\phi_{2}}   
} dV) 
\pmatrix{
v_{1} \cr v_{2} 
}= -
\pmatrix{
u_{1} & u_{2} 
}
( \int_{\Omega} E \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ \cr \underline{\phi_{2}}’
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’
} dV )
\pmatrix{
u_{1} \cr u_{2} 
}
+
 \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}+\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v}

On pose \underline{\underline{M}}=  \int_{\Omega} \rho 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} }
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} & \underline{\phi_{2}}   
\end{pmatrix} dV et \underline{\underline{K}}= \int_{\Omega} E \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ \cr \underline{\phi_{2}}’
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’
}dV
avec dV=Sdx

Calculons \underline{\underline{M}} et \underline{\underline{K}} :

\underline{\underline{M}}=  \int_{\Omega} \rho 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}} }
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} & \underline{\phi_{2}}   
} S dx = \int_{\Omega} \rho 
\pmatrix{
\underline{\phi}_{1} ^{2}& \underline{\phi_{1}} \underline{\phi_{2}} \cr \underline{\phi_{2}} \underline{\phi_{1}} & \underline{\phi}_{2}^{2} }
 S dx
On a \underline{\phi}_{1}(x)=\frac{x}{L}\underline{x} et \underline{\phi}_{2}(x)= 1 \times (1-\frac{x}{L})\underline{x}

 \underline{\underline{M}} = \int_{x=0}^{L} \pmatrix{
(\frac{x}{L}) ^{2} & \frac{x}{L} (1-\frac{x}{L})\cr
\frac{x}{L} (1-\frac{x}{L}) & (1-\frac{x}{L})^{2}
\end{pmatrix} \rho S dx
avec :
\int_{0}^{L}\frac{x}{L} ^{2} \rho S dx =[\frac{x^{3}}{3L^{2}} S \rho x]_{0}^{L} = \frac{L^{3}}{3L^{2}}S \rho = \frac{\rho S L}{3}

 \int_{0}^{L} \rho (1-\frac{x}{L})^{2} S dx = \int_{0}^{L}  1-\frac{2x}{L}+(\frac{x}{L})^{2} \rho S dx = \rho S L ([x]_{0}^{L} + [\frac{-2x^{2}}{L}]_{0}^{L} + [\frac{x^{3}}{3L^{2}}]_{0}^{L}) = \rho S \frac{L^{3}}{3L^{2}}= \frac{\rho S L}{3}
 \int_{0}^{L} \rho \frac{x}{L} (1-\frac{x}{L}) S dx = \rho S [\frac{x^{2}}{2L}]_{0}^{L} +[-\frac{x^{3}}{3L^{2}}]_{0}^{L} = \rho S (\frac{L}{2}-\frac{L}{3}) = \frac{\rho S L}{6}
Finalement on a calculé \underline{\underline{M}} :
 \underline{\underline{M}}= \frac{\rho S L}{6} \pmatrix{
 2&1 \cr 1&2
}
\underline{\underline{M}} est appelé la matrice de masse.
On a \underline{\phi}_{1}’(x)=\frac{1}{L}\underline{x} et \underline{\phi}_{2}’(x)= -\frac{1}{L}\underline{x}


\underline{\underline{K}}= \int_{L} E \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ \cr \underline{\phi_{2}}’
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’
} S dx = \int_{L} E \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’^{2} & \underline{\phi_{1}}’\underline{\phi_{2}}’\cr \underline{\phi_{2}}’\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’^{2}
}
 S dx


\underline{\underline{K}} = \int_{0}^{L} E \times 
\pmatrix{
\frac{1}{L^{2}} &  -\frac{1}{L^{2}}\cr 
-\frac{1}{L^{2}} & \frac{1}{L^{2}}
}
 S dx
 \underline{\underline{K}}= \frac{E S}{L} \pmatrix{
  1& -1 \cr -1 & 1
 }
\underline{\underline{K}} est appelée la matrice de rigidité.

Réécrivons les efforts sous forme matricielle :

  • Les efforts surfaciques :
    \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{F}_{d}\underline{v}
    et si on fait l’hypothèse que la force s’exerce sur la surface de droite d’abcisse x=L et qu’elle est constante on a :
     \iint_{S} \underline{F}_{d} \underline{ v } dS = 
\int_{S} \underline{F}_{d} \pmatrix{
\underline{\phi }_{1}(x=L)\underline{x} \cr \underline{\phi }_{2}(x=L)\underline{x}

} dS \pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
}
= \int_{S} \underline{F}_{d} \pmatrix{
\underline{0} \cr 1 \times \underline{x}
} dS \pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
}= S\underline{F}_{d}.\underline{x} \pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
} = \underline{F}_{surf} \underline{V}
3.2.3- Remarques

On peut contrôler les unités F_{surf} est en N c’est la force qui est due aux efforts surfaciques : en effet S \underline{F}_{d} est le produit d’une surface par une force par unité de surface. F_{surf} est donc homogène à une force.

Si la force s’exerce sur la surface gauche de l’élément il faut faire attention aux signes car \underline{F}_{d} = \underline{\underline{\sigma}} .\underline{n}_{ext} avec n_{ext}=-\underline{x}.

  • Les efforts volumiques :

si on fait l’hypothèse que \underline{f} est constant sur l’élément :
\int_{\Omega}\underline{f}\underline{v} = \underline{f} .\int_{0}^{L} (\pmatrix{
v_{1} & v_{2} 
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}}
})= \underline{f} .\int_{0}^{L} 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}} \cr \underline{\phi_{2}}
\end{pmatrix} \rho S dx \begin{pmatrix}
v_{1} \cr v_{2} \end{pmatrix}
= \underline{f} .\int_{0}^{L} 
\pmatrix{
\frac{x}{L}\underline{x} \cr 1-\frac{x}{L} \underline{x}
}
 \rho S dx \pmatrix{
v_{1} & v_{2}
} = \frac{ S L}{2} \underline{f} .\underline{x}
\pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
} = \underline{F}_{vol} \underline{V}

3.2.4- Remarques

On peut contrôler les unités F_{vol} est en N c’est la force qui est due aux efforts volumique : en effet \frac{ S L}{2} \underline{f} est le produit d’un volume par une force par unité de volume. F_{vol}
est donc homogène à une force.

On peut donc réécrire l’équation d’équilibre en :

 \frac{d^{2}}{dt^{2}}\pmatrix{
u_{1} & u_{2} }
\underline{\underline{M}} 
\pmatrix{
v_{1} \cr v_{2} 
}= -
\pmatrix{
u_{1} & u_{2} 
}
\underline{\underline{K}}
\pmatrix{
u_{1} \cr u_{2} 
}
=
 \underline{F}_{surf}\underline{V}+\underline{F}_{vol}\underline{V}

En notant \underline{U}= (u_{i}) et \underline{V}=(v_{i}) on a : \forall \underline{V} cinématiquement admissible à 0.
 (\underline{\underline{M}}\ddot{\underline{U}}+\underline{\underline{K}}\underline{U})  \underline{V} =\underline{F} \underline{V}
avec \underline{F}= \underline{F}_{surf} + \underline{F}_{vol}

Le premier élément n’est ni soumis à une force de volume : \underline{f}=\underline{0} ni à une force surfacique \underline{F}_{d}=\underline{0}. On arrive donc à l’équation :

\forall V cinématiquement admissible à 0.

 \frac{\rho S L}{6}\frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{1} & u_{2}
} \pmatrix{
2 &1 \cr 1&2
}\pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
}
+ \pmatrix{
u_{1} & u_{2}
} \frac{ES}{L}\pmatrix{
1 & -1 \cr -1 & 1
}
\pmatrix{
v_{1} \cr v_{2}
}
=0
Il faut maintenant écrire la même chose pour le second élément.

 \frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{2} & u_{3} }
\underline{\underline{M}} 
\pmatrix{
v_{2} \cr v_{3} 
} = -
\pmatrix{
u_{2} & u_{3} 
}
\underline{\underline{K}}
\pmatrix{
u_{2} \cr u_{3} 
}
=
 \underline{F}\underline{V}+\underline{F}_{vol}\underline{V}
Pour le second élément on n’a pas de force de volume \underline{f}=\underline{0} mais il y a une force de surface F_{d} qui s’exerce sur l’élément.
Soit :
 \frac{\rho S L}{6}\frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{2} & u_{3}
} \pmatrix{
2 &1 \cr 1&2
}\pmatrix{
v_{2} \cr v_{3}
}
+ \pmatrix{
u_{2} & u_{3}
} \frac{ES}{L}\pmatrix{
1 & -1 \cr -1 & 1
}
\pmatrix{
v_{2} \cr v_{3}
}
=\underline{F}_{d} S \pmatrix{
\underline{0} \cr \underline{x}
}

On a écrit l’équation d’équilibre sur chacun des deux éléments de la poutre. On écrit le système global :

 \frac{\rho S L}{6}\frac{d^{2}}{dt^{2}} \pmatrix{
u_{1} &u_{2} & u_{3}
} \pmatrix{
2 &1 &0 \cr 1&2+2&1 \cr 0 & 1&2
} \pmatrix{
v_{1} \cr v_{2} \cr v_{3}
}
+ \pmatrix{
u_{1} &u_{2} & u_{3}
} \frac{ES}{L} \pmatrix{
1 & -1 &0 \cr -1 & 1+1 &-1 \cr 0 &-1 &1
}
\pmatrix{
v_{1} \crv_{2} \cr v_{3}
}
=\underline{F}_{d} S \pmatrix{
\underline{0} \cr \underline{0} \cr \underline{x}
}

Ou sous forme matricielle en posant \underline{\underline{M}}=\frac{\rho S L}{6}\pmatrix{
2&1&0\cr 1&4&1\cr 0&1&2
} , \underline{\underline{K}}=\frac{ES}{L} \pmatrix{
1 &-1&0 \cr -1&2&-1\cr 0&-1&1
},
\underline{U}=(u_{i}) et \underline{V}=(v_{i}),\underline{F}_{surf}=\pmatrix{
0 \cr 0 \cr S \underline{F}_{d}.\underline{x}
} et \underline{F}_{vol}=\pmatrix{
0 \cr 0 \cr0
}
On a \forall \underline{V} cinématiquement admissible à 0 :
 (\underline{\underline{M}}
\ddot{\underline{U}}+\underline{\underline{K}}\underline{U})\underline{V}=
\underline{F} \underline{V}

On a établi l’équation d’équilibre sur la poutre discrétisée en 2 noeuds. On n’a
pas tenu compte de la condition d’encastrement qui sera discutée dans la partie
imposer des conditions limites.

++++

 4- Formulation variationnelle en thermique

On veut vérifier les équations du problème de référence en thermique.

On part de l’équation d’équilibre local :
 \rho c \frac{dT}{dt} = -div(\underline{ j}_{th} )+q
On multiplie par T^{*} un vecteur quelconque tel que T^{*} soit cinématiquement admissible à 0 (i.e : T^{*}=0 sur \partial \Omega_{1}).
 \forall T^{*} \in CA_{0}
\rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -div(\underline{j}_{th} )T^{*}+qT^{*}
On intègre sur tout le domaine \Omega
 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = \int_{\Omega} - div(\underline{j}_{th} )T^{*}+\int_{\Omega}qT^{*}

On utilise la formule de Gauss Green : intégration par partie généralisée :
 div(\underline{j}_{th} T^{*})= div(\underline{j}_{th}) T^{*}+ \underline{grad} T^{*} \underline{j}_{th}

On obtient :

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} =- \int_{\Omega} div(\underline{j}_{th} T^{*} )+\int_{\Omega}  \underline{j}_{th} \times \underline{grad} T^{*} +\int_{\Omega}qT^{*}

Puis on utilise le théorème de la divergence :
 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\partial \Omega} \underline{j}_{th} T^{*} \underline{n}_{ext}+\int_{\Omega}  \underline{j}_{th} \times \underline{grad} T^{*} +\int_{\Omega}qT^{*}

Enfin on sépare \partial \Omega= \partial \Omega_{1} + \partial \Omega_{2} pour tenir compte du fait que : T^{*}=0 sur \partial \Omega_{1}.

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\partial \Omega_{1}} \underline{j}_{th} T^{*} \underline{n}_{ext}-\int_{\partial \Omega_{2}} \underline{j}_{th} T^{*} \underline{n}_{ext}+\int_{\Omega}  \underline{y} \times \underline{grad} T^{*} +\int_{\Omega}qT^{*}

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\partial \Omega_{2}} \underline{j}_{th} T^{*} \underline{n}_{ext}+\int_{\Omega}  \underline{j}_{th} \times \underline{grad} T^{*} +\int_{\Omega}qT^{*}

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = \int_{\Omega}  \underline{j}_{th} \times \underline{grad} T^{*}- \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} \times T^{*}  +\int_{\Omega}qT^{*}

On tient maintenant compte du fait que : \underline{j}_{th}= -\lambda \underline{grad} T

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\Omega}  \lambda \underline{grad} T \times \underline{grad} T^{*}- \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} \times T^{*}  +\int_{\Omega}qT^{*}

++++

 5- Application au calcul poutre

5.1- Idée

On doit résoudre l’équation :
 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\Omega}  \lambda \underline{grad}T \times \underline{grad} T^{*}- \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} \times T^{*}  +\int_{\Omega}qT^{*}
sur tout le solide.

On va découper le domaine en plusieurs partie, on appellera chaque partie un élément. On va résoudre l’équation sur chaque élément au lieu de la résoudre sur toute la structure.

5.1.1- Exemple d’introduction : poutre en traction à 2 éléments

On considère une poutre de conductivité \lambda de section S et de longueur 2L.

On décide de partager la poutre en deux éléments poutre.
On ne s’intéresse plus à la température dans toute la poutre mais à la température aux nœuds.
On pose :
 \underline{T}= \pmatrix{
T_{1} & T_{2} & T_{3}
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} \cr  \phi_{3}
} \underline{T}^{*}= \pmatrix{
T_{1}^{*} & T_{2}^{*} & T_{3}^{*}
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} \cr \phi_{3}
}
avec : T_{i}=0 sur \partial \Omega_{1}

5.1.2- Remarque

Le vecteur (u_{i}) ne dépend que du temps.Le vecteur (\phi_{i}) ne dépend que de la position (i.e x).

On introduit les fonctions de forme \Phi(x)

On considère le premier élément de poutre :

On va résoudre sur cet élément l’équation que l’on a écrite précédemment :

\int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\Omega}  \lambda \underline{grad}T \times \underline{grad} T^{*}- \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} \times T^{*}  +\int_{\Omega}qT^{*}

Sur une poutre on a 1 dimension en espace (1
coordonnée x) : en conséquence les gradients
deviennent des dérivées par rapport à la coordonnée
x.

 \int_{\Omega} \rho c \frac{dT}{dt} T^{*} = -\int_{\Omega}  \lambda \frac{\partial}{\partial x} T \underline{x} \times \frac{\partial}{\partial x} T^{*} \underline{x}- \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} T^{*}\times   +\iiint_{\Omega}qT^{*}

 \int_{\Omega} \rho c \frac{d}{dt}\pmatrix{
T_{1} & T_{2} 
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} 
}\pmatrix{
T_{1}^{*} & T_{2}^{*} 
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} 
} = -\int_{\Omega} \lambda \times \frac{\partial}{\partial x} (\pmatrix{
T_{1} & T_{2} 
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2}
}) 
\frac{\partial}{\partial x} (\pmatrix{
T_{1}^{*} & T_{2}^{*} 
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2}
})
-\int_{\partial \Omega_{2}} \underline{q}_{d} T^{*}   +\int_{\Omega}qT^{*}

On intègre sur l’espace, on peut donc sortir les (T_{i}) et les (T_{i}^{*})

 \frac{d^{2}}{dt^{2}}\pmatrix{
T_{1} & T_{2} }
( \int_{\Omega} \rho c 
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} }
\pmatrix{
\phi_{1} & \phi_{2}   } dV) 
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} 
}= -
\pmatrix{
T_{1} & T_{2} 
}
( \int_{\Omega} \lambda \times 
\pmatrix{
\phi_{1}’ \cr \phi_{2}’
}
\pmatrix{
\phi_{1}’ & \phi_{2}’
}dV )
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} 
}
-
 \int_{\partial \Omega_{2}} \underline{y}_{d} T^{*} +\int_{\Omega}\underline{q} T^{*}

On pose \underline{\underline{M}}=  \int_{\Omega} \rho c
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} }
\pmatrix{
\phi_{1} & \phi_{2}  
} dV et \underline{\underline{K}}= \int_{\Omega} \lambda \times 
\pmatrix{
\phi_{1}’ \cr \phi_{2}’
}
\pmatrix{
\phi_{1}’ & \phi_{2}’
}dV
avec dV=Sdx

Calculons \underline{\underline{M}} et \underline{\underline{K}} :

\underline{\underline{M}}=  \int_{\Omega} \rho c 
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2} }
\pmatrix{
\phi_{1} & \phi_{2}   
} S dx = \int_{\Omega} \rho c 
\pmatrix{
\phi_{1} ^{2}& \phi_{1} \phi_{2} \cr \phi_{2} \phi_{1} & \phi_{2}^{2} }
 S dx
On a \phi_{1}(x)=\frac{x}{L} et \phi_{2}(x)= 1 \times (1-\frac{x}{L})

 \underline{\underline{M}} = \int_{x=0}^{L} \pmatrix{
(\frac{x}{L}) ^{2} & \frac{x}{L} (1-\frac{x}{L})\cr
\frac{x}{L} (1-\frac{x}{L}) & (1-\frac{x}{L})^{2}
} \rho c S dx
avec :
\int_{0}^{L}\frac{x}{L} ^{2} \rho c S dx =[\frac{x^{3}}{3L^{2}} S \rho c x]_{0}^{L} = \frac{L^{3}}{3L^{2}}S \rho c = \frac{\rho c S L}{3}

 \int_{0}^{L} \rho c (1-\frac{x}{L})^{2} S dx = \int_{0}^{L}  1-\frac{2x}{L}+(\frac{x}{L})^{2} \rho  c S dx = \rho c S L ([x]_{0}^{L} + [\frac{-2x^{2}}{L}]_{0}^{L} + [\frac{x^{3}}{3L^{2}}]_{0}^{L}) = \rho c S \frac{L^{3}}{3L^{2}}= \frac{\rho c S L}{3}
 \int_{0}^{L} \rho c \frac{x}{L} (1-\frac{x}{L}) S dx = \rho c S [\frac{x^{2}}{2L}]_{0}^{L} +[-\frac{x^{3}}{3L^{2}}]_{0}^{L} = \rho c S (\frac{L}{2}-\frac{L}{3}) = \frac{\rho c S L}{6}
Finalement on a calculé \underline{\underline{M}} :
 \underline{\underline{M}}= \frac{\rho c S L}{6} \pmatrix{
 2&1 \cr 1&2
}
\underline{\underline{M}} est appelé la matrice de masse.

On a \phi_{1}’(x)=\frac{1}{L} et \phi_{2}’(x)= -\frac{1}{L}


\underline{\underline{K}}= \int_{L} \lambda \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ \cr \underline{\phi_{2}}’
}
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’
\end{pmatrix} S dx = \int_{L} \lambda \times 
\pmatrix{
\underline{\phi_{1}}’^{2} & \underline{\phi_{1}}’\underline{\phi_{2}}’\cr \underline{\phi_{2}}’\underline{\phi_{1}}’ & \underline{\phi_{2}}’^{2}
}
 S dx


\underline{\underline{K}} = \int_{0}^{L} \lambda \times 
\pmatrix{
\frac{1}{L^{2}} &  -\frac{1}{L^{2}}\cr 
-\frac{1}{L^{2}} & \frac{1}{L^{2}}
}
 S dx
 \underline{\underline{K}}= \frac{\lambda S}{L} \pmatrix{
  1& -1 \cr -1 & 1
 }
\underline{\underline{K}} est appelée la matrice de rigidité.

Réécrivons les transferts thermiques sous forme matricielle :

  • Les transferts thermiques à travers la surface du domaine :
    -\int_{\partial \Omega_{2}} y_{d} T^{*}
    et si on fait l’hypothèse que le transfert s’effectue sur la surface de droite d’abcisse x=L et qu’elle est constante on a :
     -\int_{S} y_{d}T^{*} dS = -
\int_{S} y_{d} \pmatrix{
\phi_{1}(x=L) \cr \phi_{2}(x=L)
} dS \pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
}
= -\int_{S} y_{d} \pmatrix{
0 \cr 1 
} dS \pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
}=- S y_{d} \pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
} = \underline{Q}_{surf} \underline{T}^{*}
5.1.3- Remarques

On peut contrôler les unités \underline{Q}_{surf} est en Joule c’est le transfert thermique qui est dû aux transferts thermiques à travers la frontière du domaine : en effet S y_{d} est le produit d’une surface par une énergie par unité de surface. \underline{Q}_{surf} est donc homogène à une énergie.

  • Les transferts volumiques :

si on fait l’hypothèse que q est constant sur l’élément :
\int_{\Omega}q T^{*} = q .\int_{0}^{L} (\pmatrix{
T_{1}^{*} & T_{2}^{*} 
}
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2}
\end{pmatrix})= q .\int_{0}^{L} 
\pmatrix{
\phi_{1} \cr \phi_{2}
} \rho S dx \pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} }
= q .\int_{0}^{L} 
\pmatrix{
\frac{x}{L} \cr 1-\frac{x}{L}
}
 \rho S dx \pmatrix{
T_{1}^{*} & T_{2}^{*}
} = \frac{ S L}{2} q 
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
} = \underline{Q}_{vol} \underline{T}^{*}

5.1.4- Remarques

On peut contrôler les unités \underline{Q}_{vol} est en Joule c’est le transfert thermique qui est du aux termes de source (volumiques) : en effet \frac{ S L}{2} \underline{q} est le produit d’un volume par une énergie par unité de volume. \underline{Q}_{vol}
est donc homogène à une énergie.

On peut donc réécrire l’équation d’équilibre en :

 \frac{d^{2}}{dt^{2}}\pmatrix{
T_{1} & T_{2} }
\underline{\underline{M}} 
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} 
}= -
\pmatrix{
T_{1} & T_{2} 
}
\underline{\underline{K}}
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} 
}
=
 \underline{Q}_{surf}\underline{T}^{*}+\underline{Q}_{vol}\underline{T}^{*}]

En notant \underline{T}= (T_{i}) et \underline{T}^{*}=(T_{i}) on a : \forall \underline{T}^{*} cinématiquement admissible à 0.
 (\underline{\underline{M}}\dot{\underline{T}}+\underline{\underline{K}}\underline{T})  \underline{T}^{*} =\underline{Q} \underline{T}^{*}
avec \underline{Q}= \underline{Q}_{surf} + \underline{Q}_{vol}

Le premier élément n’est ni soumis à un transfert thermique de volume : q=0 ni à un transfert thermique de surface y_{d}=0. On arrive donc à l’équation :

\forall T^{*} cinématiquement admissible à 0.

 \frac{\rho c S L}{6}\frac{d}{dt} \pmatrix{
T_{1} & T_{2}
} \pmatrix{
2 &1 \cr 1&2
}\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
}
+ \pmatrix{
T_{1} & T_{2}
} \frac{\lambda S}{L}\pmatrix{
1 & -1 \cr -1 & 1
}
\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*}
}
=0
Il faut maintenant écrire la même chose pour le second élément.

 \frac{d}{dt}\pmatrix{
T_{2} & T_{3} }
\underline{\underline{M}} 
\pmatrix{
T_{2}^{*} \cr T_{3}^{*} 
}= -
\pmatrix{
T_{2} & T_{3} 
}
\underline{\underline{K}}
\pmatrix{
T_{2} \cr T_{3} 
}
=
 \underline{Q}_{surf}\underline{T}^{*}+\underline{Q}_{vol}\underline{T}^{*}
Pour le second élément on n’a pas de transfert thermique de volume q=0 mais il y a un transfert thermique y_{d} à travers la surface du domaine.
Soit :
 \frac{\rho c S L}{6}\frac{d}{dt} \pmatrix{
T_{2} & T_{3}
} \pmatrix{
2 &1 \cr 1&2
}\pmatrix{
T_{2}^{*} \cr T_{3}^{*}
}
+ \pmatrix{
T_{2} & T_{3}
} \frac{\lambda S}{L}\pmatrix{
1 & -1 \cr -1 & 1
}
\pmatrix{
T_{2}^{*} \cr T_{3}^{*}
}
=y_{d} S \pmatrix{
0 \cr 1
}

On a écrit l’équation d’équilibre sur chacun des deux éléments de la poutre. On écrit le système global :

 \frac{\rho c S L}{6}\frac{d}{dt} \pmatrix{
T_{1} &T_{2} & T_{3}
} \pmatrix{
2 &1 &0 \cr 1&2+2&1 \cr 0 & 1&2
}\pmatrix{
T_{1}^{*} \cr T_{2}^{*} \cr T_{3}^{*}
}
+ \pmatrix{
T_{1} &T_{2} & T_{3}
} \frac{ \lambda S}{L}\pmatrix{
1 & -1 &0 \cr -1 & 1+1 &-1 \cr 0 &-1 &1
}
\pmatrix{
T_{1} \cr T_{2} \cr T_{3}
}
=y_{d} S \pmatrix{
0 \cr 0 \cr 1
}

Ou sous forme matricielle en posant \underline{\underline{M}}=\frac{\rho c S L}{6}\pmatrix{
2&1&0\cr 1&4&1\cr 0&1&2
} , \underline{\underline{K}}=\frac{\lambda S}{L}\pmatrix{
1 &-1&0 \cr -1&2&-1\cr 0&-1&1
},
\underline{T}=(T_{i}) et \underline{T}^{*}=(T_{i}^{*}),\underline{Q}_{surf}=\pmatrix{
0 \cr 0 \cr S y_{d}
} et \underline{Q}_{vol}=\pmatrix{
0 \cr 0 \cr0
}
On a \forall \underline{T}^{*} cinématiquement admissible à 0 :
 (\underline{\underline{M}}
\dot{\underline{T}}+\underline{\underline{K}}\underline{T})\underline{T}^{*}=
\underline{Q} \underline{T}^{*}

On a établi l’équation d’équilibre sur la poutre discrétisée en 2 noeuds. On n’a
pas tenu compte de la condition d’encastrement : en thermiqe l’imposition de la température en x=0 qui sera discutée dans la partie
imposer des conditions limites.

++++

 6- Analogie Élasticité-Thermique

6.1- Tableau des analogies

Élasticité Thermique
le déplacement \underline{u} la température T
la déformation \underline{\underline{\sigma}} "l’opposé du transfert thermique" \underline{y}
une force surfacique \underline{F}_{d} un transfert thermique surfacique y_{d}
une force volumique \underline{f} un transfert thermique volumique q
\underline{\underline{M}}= \frac{\rho S L}{6}\pmatrix{2&1\cr 1&2} \underline{\underline{M}}=\frac{\rho c S L}{6}\pmatrix{2&1\cr 1&2}
\underline{\underline{K}}= \frac{ES }{L}\pmatrix{1&-1\cr-1&1} \underline{\underline{K}}=\frac{\lambda S}{L}\pmatrix{1&-1\cr -1&1}

6.2- Tableau des différences

Élasticité Thermique
\underline{u} est un vecteur T est un scalaire
\underline{\underline{\sigma}} est une matrice \underline{y} est un vecteur

++++

 7- Prise en compte des conditions limites

On doit vérifier les équations de l’élasticité et les équations de conditions de conditions d’encastrement que l’on a laissées de côté lorsqu’on a multiplié par un champ admissible à 0...

On cherche le vecteur \underline{U} qui est solution du système :
\underline{\underline{K}}\underline{U}=\underline{F}
avec comme contrainte les u_{d} fixés.

7.1- Méthode de substitution

7.1.1- Principe de la méthode par substitution

On ordonne les degrés de liberté : on note u_{i} les composantes du vecteur \underline{U}_{i}que l’on cherche à calculer et les u_{d} les composantes du vecteur \underline{U}_{d} que l’on connaît.

On a donc :
 \underline{U}= \pmatrix{
\underline{U}_{i} \cr
\underline{U}_{d} \cr
}

La matrice \underline{\underline{K}} est connue et s’écrit en blocs :
\underline{\underline{K}}= \pmatrix{
\underline{\underline{K}}_{ii} & \underline{\underline{K}}_{id} \cr
\underline{\underline{K}}_{di} & \underline{\underline{K}}_{dd}
}

Le vecteur des efforts F s’écrit en blocs :
on note f_{i} les composantes du vecteur des efforts \underline{F}_{i} que l’on cherche à calculer et les f_{d} les composantes du vecteur des efforts \underline{F}_{d} que l’on ne connaît pas (on s’est donné le déplacement u_{d} on ne peut pas imposer aussi l’effort f_{d}).
 \underline{F}= \pmatrix{
\underline{F}_{i} \cr
\underline{F}_{d} \cr
}

On cherche le vecteur \underline{U}_{i} qui est solution du système :
\underline{\underline{K}}\underline{U}=\underline{F}
avec comme contrainte les u_{d} fixés.

En somme on cherche à résoudre :
\pmatrix{
\underline{\underline{K}}_{ii} & \underline{\underline{K}}_{id} \cr
\underline{\underline{K}}_{di} & \underline{\underline{K}}_{dd}
}  \pmatrix{
\underline{U}_{i} \cr
\underline{U}_{d} \cr
} = \pmatrix{
\underline{F}_{i} \cr
\underline{F}_{d} \cr
\end{pmatrix}

que l’on peut voir comme deux systèmes d’équations
\pmatrix{
\underline{\underline{K}}_{ii} & \underline{\underline{K}}_{id} \cr
}  \pmatrix{
\underline{U}_{i} \cr
\underline{U}_{d} \cr
} = \pmatrix{
\underline{F}_{i} \cr
}

et
\pmatrix{
\underline{\underline{K}}_{di} & \underline{\underline{K}}_{dd}
}  \pmatrix{
\underline{U}_{i} \cr
\underline{U}_{d} \cr
} = \pmatrix{
\underline{F}_{d} \cr
}

On ne connaît pas \underline{F}_{d} qui sont les efforts de réaction : on impose U_{d} on ne peut pas imposer en même temps \underline{F}_{d}.

On a donc :

\underline{U}_{i}=\underline{\underline{K}}_{ii}^{-1} ( \underline{F}_{i}-\underline{\underline{K}}_{id} \underline{U}_{d})

7.1.2- Application à la poutre encastrée à deux éléments

Application numérique on prend E=1, S=1, L=1 pour la poutre et F=1.(Attention L est la longueur de l’élément)

Première étape on ordonne les inconnues :

On a :
\underline{U}=\pmatrix{
u_{0} \cr u_{1} \cr u_{2}
}
On souhaite réordonner les degrés de liberté pour avoir :
\underline{U}=\pmatrix{
u_{1} \cr u_{2} \cr u_{0}
}
On écrit la matrice de changement de base :

P=\pmatrix{
0&0&1\cr 1&0&0\cr 0&1&0
} \text{ et } P^{-1}=\pmatrix{
0&1&0\cr 0&0&1\cr 1&0&0
}

Le système réordonné est donc :

\pmatrix{
0&1&0\cr 0&0&1\cr 1&0&0
}
\pmatrix{
1 & -1 & 0 \cr
-1 & 2 & -1 \cr 
0 & -1 &1 \cr
}
\pmatrix{
0 & 0 & 1\cr
1 & 0 & 0\cr
0 & 1 & 0\cr
}
\pmatrix{
u_{1} \cr
u_{2} \cr
u_{0}
}=
\pmatrix{
0 & 1 & 0\cr 
0 & 0 & 1\cr
1 & 0 & 0\cr
}
\pmatrix{
0\cr 0 \cr F
}

\pmatrix{
2 & -1 & -1 \cr
-1 & 2 & 0 \cr
-1 & 0 &1 \cr
}
\pmatrix{
u_{1} \cr
u_{2} \cr
u_{0}
}=
\pmatrix{
0\cr F\cr 0
}=\pmatrix{
\underline{\underline{K}}_{ii} & \underline{\underline{K}}_{id} \cr
\underline{\underline{K}}_{di} & \underline{\underline{K}}_{dd}
}  \pmatrix{
\underline{U}_{i} \cr
\underline{U}_{d} \cr
} = \pmatrix{
\underline{F}_{i} \cr
\underline{F}_{d} \cr
}

Avec :
\underline{\underline{K}}_{ii}=\pmatrix{
2 & -1\cr-1&1
} \text{ et } \underline{\underline{K}}_{ii}^{-1}=\pmatrix{
1 & 1\cr1&2
}

\underline{\underline{K}}_{id}=\pmatrix{
-1\cr 0
}

\underline{\underline{K}}_{di}=\pmatrix{
-1&0
}

\underline{\underline{K}}_{dd}=1
\underline{U}_{i}=\pmatrix{
u_{1} \cr u_{2}
}

\underline{U}_{d}=u_{0}=0

\underline{F}_{i}=\pmatrix{
0 \cr F
}

\underline{F}_{d}= \text{inconnu} : c’est l’ effort à placer à l’encastrement pour que le déplacement soit nul.

On a donc d’après la formule :

\underline{U}_{i}=\underline{\underline{K}}_{ii}^{-1} ( \underline{F}_{i}-\underline{\underline{K}}_{id} \underline{U}_{d})

\pmatrix{
u_{1} \cr u_{2}
}=\pmatrix{
1 & 1\cr 1&2
} ( \pmatrix{
0 \cr F
}-\pmatrix{
-1\cr 0
} \times \underline{0})

Donc pour F=1 : \pmatrix{
u_{1} \cr u_{2}
}=\pmatrix{
1 \cr 2
}

7.2- Méthode de Lagrange

On écrit nos conditions limites sous la forme d’un système \underline{\underline{C}}\underline{U}=\underline{b}
Avec :

  • \underline{\underline{C}} une matrice qui relie les degrés de liberté
  • \underline{U} tous les degrés de liberté du système
  • \underline{b} le vecteur des déplacements imposés

On résout non plus le système \underline{\underline{K}}\underline{U}=\underline{F} mais le système :
 \pmatrix{
\underline{\underline{K}} & \underline{\underline{C}}^{T}\cr
\underline{\underline{C}}^{T} & \underline{\underline{0}}
}\pmatrix{
\underline{U} \cr \underline{\lambda}
}=\pmatrix{
\underline{F}\cr
\underline{Ud}
}

7.2.1- Application à la poutre encastrée à deux éléments

On veut résoudre le système :

\pmatrix{
1&-1&0\cr -1&2&-1\cr 0&-1&1
} \pmatrix{
u_{0} \cr u_{1}\cr u_{2} 
}=\pmatrix{
0 \cr 0 \cr F
}
avec la condition u_{0}=0

On écrit la condition limite u_{0}=0 sous la forme \underline{\underline{C}}\underline{U}=\underline{b} en l’occurence :
\pmatrix{
1&0&0
}\pmatrix{
u_{0} \cr u_{1} \cru_{2}
}=\pmatrix{
0
}

On assemble le système avec \underline{\underline{C}}=\pmatrix{
1&0&0
\end{pmatrix} On a :
 \pmatrix{
\underline{\underline{K}} & \underline{\underline{C}}^{T}\cr
\underline{\underline{C}}^{T} & \underline{\underline{0}}
}\pmatrix{
\underline{U} \cr \underline{\lambda}
}=\pmatrix{
\underline{F} \cr
\underline{Ud}
}=\pmatrix{
1&-1&0&1\cr
-1&2&-1&0\cr
0&-1& 1&0\cr
1& 0 & 0&0\cr
}
\pmatrix{
u_{0} \cr u_{1} \cr u_{2} \cr \lambda_{ext\rightarrow 0}
}=\pmatrix{
0\cr 0\cr F\cr
0
}
Application numérique on prend E=1, S=1, L=1 pour la poutre et F=1.(Attention L est la longueur de l’élément)

Finalement la résolution nous donne :
\pmatrix{
u_{0} \cr u_{1} \cr u_{2} \cr \lambda_{ext\rightarrow 0}
} =\pmatrix{
0 \cr 2 \cr 4 \cr 2
}

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