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Cours, exercices et corrections en SI

Mécanique des milieux continus

Cours 14 septembre 2013, par Hadrien Bainier

Après avoir vu la mécanique du solide indéformable, ce cours pose les bases de l’étude des phénomènes en jeu lorsque les solides ne sont plus rigides mais déformables.

 1- Déformations

1.1- Notion intuitive de déformation

Dans le cours de mécanique du solide indéformable on a défini un solide indéformable comme suit :
Un solide est indéformable si la distance entre deux points quelconques M et M’ est constante au cours du temps.
Si on considère un solide déformable alors la distance entre deux points quelconques M et M’ n’est pas forcément constante au cours du temps. Le solide peut alors se déformer.
La déformation s’exprime donc comme la variation de distance entre deux points M et M’ au cours du mouvement.

1.2- Expression de la déformation

1.2.1- État initial : non déformé

A l’instant initial le solide n’est pas déformé.
On choisit 2 points voisins M_{0} et M_{0}’
Ces deux points ont les coordonnées suivantes :
M_{0} : \pmatrix{
a_{1} \cr a_{2} \cr a_{3}
} M_{0}’ : \pmatrix{
a_{1} +da_{1} \cr a_{2}+da_{2} \cr a_{3}+da_{3}
}

1.2.2- État final : déformé

A l’instant t le solide s’est déplacé et il s’ est déformé. Les deux points ont maintenant les coordonnées suivantes :
 M : \pmatrix{
x_{1}(a_{j},t) \cr x_{2}(a_{j},t) \cr x_{3}(a_{j},t)
} M’ :\pmatrix{
x_{1}(a_{j}+da_{j},t) \cr x_{2}(a_{j}+da_{j},t) \cr x_{3}(a_{j}+da{j},t)
}=\pmatrix{
x_{1}(a_{j},t)+dx_{1} \cr x_{2}(a_{j},t)+dx_{2} \cr x_{3}(a_{j},t)+dx_{3}
}

1.2.3- Objectif

On cherche à écrire une relation entre le vecteur \vec{MM’} de la structure déformée en fonction du vecteur \vec{M_{0}M_{0}’} de la configuration initiale (non déformée).

1.2.4- Calcul

On peut réécrire les coordonnées de M et M’ en faisant intervenir le déplacement :
 M :\pmatrix{
a_{1} +X_{1}(a_{j},t)\cr a_{2}+X_{2}(a_{j},t) \cra_{3}+X_{3}(a_{j},t)
} M’ :\pmatrix{
a_{1} +da_{1}+X_{1}(a_{j},t) \cr a_{2}+da_{2}+X_{2}(a_{j},t) \cr a_{3}+da_{3}+X_{3}(a_{j},t)
}

On a donc par application de la loi de Chasles :
 \vec{MM’} =\pmatrix{
dx_{1} \cr dx_{2} \cr dx_{3} 
} = \pmatrix{
 a_{1}+da_{1} + X_{1}(a_{j}+da_{j},t)-a_{1} - X_{1}(a_{j},t) \cr
  a_{2}+da_{2} + X_{2}(a_{j}+da_{j},t)-a_{2} - X_{2}(a_{j},t) \cr
   a_{3}+da_{3} + X_{3}(a_{j}+da_{j},t)-a_{3} - X_{3}(a_{j},t) 
}=\pmatrix{
 da_{1} +X_{1}(a_{j}+da_{j},t)-X_{1}(a_{j},t)\cr
 da_{2} +X_{2}(a_{j}+da_{j},t)-X_{2}(a_{j},t)\cr
 da_{3} +X_{3}(a_{j}+da_{j},t)-X_{3}(a_{j},t)
}

\vec{MM’} =\pmatrix{
dx_{1} \cr dx_{2} \cr dx_{3} 
} = \pmatrix{
 da_{1} + \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} da_{1} +  \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} da_{2}+ \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} da_{3} \cr
 da_{2} +\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} da_{1} +  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} da_{2}+ \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} da_{3} \cr
 da_{3} +\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} da_{1} +  \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} da_{2}+ \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}} da_{3} 
}=\pmatrix{
1+\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} & 1+ \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
1+ \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}\pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3}
}

On pose \underline{\underline{F}} tenseur (matrice) des gradients de déplacement :
 \underline{\underline{F}}= \pmatrix{
1+\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} & 1+ \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
1+ \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}

On peut récrire \underline{\underline{F}}= \underline{\underline{I_{d}}} + \underline{\underline{L}} avec L tel que :
\underline{\underline{L}}= \pmatrix{
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}

On décompose la matrice \underline{\underline{L}} en :

  • partie symétrique que l’on note \underline{\underline{D}}
  • partie antisymétrique notée \underline{\underline{\Omega}}

\underline{\underline{D}} tenseur (matrice) symétrique des déformations s’écrit donc :

 \underline{\underline{D}} = \frac{1}{2}(\underline{\underline{L}} +\underline{\underline{L}}^{t}) = \pmatrix{
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{1}{2}(\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} +\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}})\cr
\frac{1}{2}(\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}) &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} & \frac{1}{2}( \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} +\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}})\cr
\frac{1}{2}(\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} +\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}) &
\frac{1}{2}( \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} +\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}) &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}

\underline{\underline{\Omega}} tenseur anti-symétrique s’écrit donc :

\underline{\underline{D}} = \frac{1}{2}(\underline{\underline{L}} -\underline{\underline{L}}^{t})=\pmatrix{
0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \cr
\omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \cr
-\omega_{2} & \omega_{1} & 0
}
avec :


\left\{
\begin{array}{r c l}
\omega_{1} &=& \frac{1}{2}(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} )\\
\omega_{2} &=& \frac{1}{2}(\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}})\\
\omega_{3} &=& \frac{1}{2}(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}})
\end{array}
\right.
Les \omega_{i} représentent les rotations infinitésimales autour des trois axes.

1.3- Conclusion

On a réussi à écrire une relation entre le vecteur \vec{MM’} de la structure déformée en fonction du vecteur \vec{M_{0}M_{0}’} de la configuration initiale (non déformée).
\vec{MM’} =\pmatrix{
dx_{1} \cr dx_{2} \cr dx_{3} 
} = \pmatrix{
1+\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} & 1+ \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
1+ \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}\pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3}
}

1.4- Calcul de la déformation

On a dit en introduction que la déformation était liée à la variation de longueur entre 2 points.
On s’intéresse ici à la variation de longueur entre les vecteurs \vec{MM’} de la structure déformée et le vecteur \vec{M_{0}M_{0}’} :
 \parallel \vec{MM’} \parallel^{2} - \parallel \vec{M_{0}M_{0}’}\parallel^{2}

D’une part :
 \parallel \vec{MM’} \parallel^{2} = \pmatrix{
dx_{1} & dx_{2} &dx_{3} 
} \pmatrix{
dx_{1} \cr dx_{2} \cr dx_{3} 
}

 = (\underline{\underline{F}} \pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} 
}  )^{t} (\underline{\underline{F}} \pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} 
}  )= \pmatrix{
da_{1} & da_{2} &da_{3} 
} \underline{\underline{F}}^{t}
\underline{\underline{F}} \pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} }
D’autre part :
\parallel \vec{M_{0}M_{0}’}\parallel^{2} = \pmatrix{
da_{1} & da_{2} &da_{3} 
} \pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} 
}

ou encore :
\parallel \vec{M_{0}M_{0}’}\parallel^{2} = \pmatrix{
da_{1} & da_{2} &da_{3} 
} \pmatrix{
1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1
} \pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} 
}

On a donc :
 \parallel \vec{MM’} \parallel^{2} - \parallel \vec{M_{0}M_{0}’}\parallel^{2} = \pmatrix{
da_{1} & da_{2} &da_{3} 
} (\underline{\underline{F}}^{t}\underline{\underline{F}} -\underline{\underline{I_{d}}} )\pmatrix{
da_{1} \cr da_{2} \cr da_{3} 
}

On pose \underline{\underline{E}} le tenseur (la matrice) des déformations de Green Lagrange tel que :
 \underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}(\underline{\underline{F}}^{t}\underline{\underline{F}} -\underline{\underline{I_{d}}} )

\underline{\underline{E}} est une matrice symétrique en tant que somme de matrice symétrique.On a :
 \underline{\underline{E}} = \pmatrix{
E_{11} & E_{12}& E_{13}\cr E_{21} & E_{22} & E_{23}\cr E_{31} & E_{32} &E_{33}  
}
avec :


\left\{
\begin{array}{r c l}
E_{11} &=& \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}+ \frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}})^{2}]\\
E_{22} &=& \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}+ \frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}})^{2}]\\
E_{33} &=& \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}+ \frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}})^{2}]\\
E_{12} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}]+ \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}]\\
E_{13} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}]+ \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}]\\
E_{23} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}]+ \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}]
\end{array}
\right.

1.4.1- Hypothèse des petites perturbations

On fait l’hypothèse des petites perturbations c’est à dire :

  • Les déplacements \vec{X}(a_{j},t)=\pmatrix{
X_{1}(a_{j},t) \cr X_{2}(a_{j},t) \cr X_{3}(a_{j},t)
} sont petits devant les dimensions de la structure
  • Les gradients du déplacement grad (\vec{X}(a_{j},t))=\pmatrix{
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
}
    sont petits devant 1

On reprend le tenseur des déformation de Green Lagrange (juste au dessus), on ne garde que les termes d’ordre 1.


\left\{
\begin{array}{r c l}
E_{11} &=& \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}+ \cancel{\frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}})^{2}]}\\
E_{22} &=& \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}+\cancel{ \frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}})^{2}]}\\
E_{33} &=& \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}+\cancel{ \frac{1}{2} [ (\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}})^{2} +(\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}})^{2}+(\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}})^{2}]}\\
E_{12} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}]+\cancel{ \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}]}\\
E_{13} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}]+ \cancel{\frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}]}\\
E_{23} &=& \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}]+ \cancel{\frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}}]
\end{array}
\right.

On obtient une matrice que l’on note \underline{\underline{\epsilon}} qui va nous servir pour toute la suite du cours de MMC :

\underline{\underline{\epsilon}} = \pmatrix{
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}] & \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}]  \cr \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}}]&
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} & \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}] \cr \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}}]   &  \frac{1}{2}[\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}}+\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}}]    & \frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}} \cr
}

On remarque que \underline{\underline{\epsilon}} peut s’écrire en fonction du gradient du déplacement grad(\vec{X})=\pmatrix{
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial X_{1}}{\partial a_{2}} & 
\frac{\partial X_{1}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{2}}{\partial a_{1}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{2}} &  \frac{\partial X_{2}}{\partial a_{3}} \cr
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{1}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{2}} &
\frac{\partial X_{3}}{\partial a_{3}}
} On vérifie que :


\underline{\underline{\epsilon}} = \frac{1}{2} (grad (\vec{X}) + grad^{t} (\vec{X}) )

Dans toute la suite du cours on notera le déplacement \vec{u} et non plus \vec{X}

1.5- Ce qu’il faut savoir sur la déformation

1.5.1- Remarque

Dans tous les exercices on fait l’hypothèse des petites perturbations et on manipule le tenseur (la matrice) des déformations \underline{\underline{\epsilon}}

1.5.2- Définition


\underline{\underline{\epsilon}} = \frac{1}{2} (grad (\vec{u}) + grad^{t} (\vec{u}) )

1.6- Exemple : en cartésien

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{x}(x,y,z) \vec{x} + u_{y}(x,y,z) \vec{y}+u_{z}(x,y,z) \vec{z}


\underline{\underline{\epsilon}} = \frac{1}{2} (\underline{\underline{grad}} (\vec{u}) + \underline{\underline{grad}}^{t} (\vec{u}) )

On va chercher la définition du gradient d’un vecteur : grad (\vec{u}) dans le formulaire.

grad \vec{u} = \pmatrix{
\frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} & \frac{\partial u_{x}}{\partial z} \cr
\frac{\partial u_{y}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} & \frac{\partial u_{y}}{\partial z} \cr
\frac{\partial u_{z}}{\partial x} & \frac{\partial u_{z}}{\partial y} & \frac{\partial u_{z}}{\partial z}
}

On a donc :
\underline{\underline{\epsilon}} = \pmatrix{
\frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_{x}}{\partial z}+ \frac{\partial u_{z}}{\partial x})\cr
\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}) & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} & \frac{1}{2}( \frac{\partial u_{y}}{\partial z}+\frac{\partial u_{z}}{\partial y}) \cr
\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{x}}{\partial z}+ \frac{\partial u_{z}}{\partial x}) & \frac{1}{2}( \frac{\partial u_{y}}{\partial z}+\frac{\partial u_{z}}{\partial y}) & \frac{\partial u_{z}}{\partial z}\cr
}

1.6.1- Remarque

Suivant le système de coordonnées dans lequel est exprimé \vec{u} on choisira la formule du gradient qui convient :

  • si \vec{u} est décrit en coordonnées cartésiennes on utilisera la formule du gradient en coordonnées cartésiennes .
  • si \vec{u} est décrit en coordonnées cylindriques on utilisera la formule du gradient en coordonnées cylindriques.
  • si \vec{u} est décrit en coordonnées sphériques on utilisera la formule du gradient en coordonnées sphériques.

++++

 2- Contraintes

On isole un cube de matière de hauteur dx.On fait un bilan des actions mécaniques extérieures :

  • sur chacune des 6 facettes s’exerce une force de surface. Remarque : cette force n’est pas nécessairement normale à la surface (Comme le serait une pression).
  • sur le volume s’exerce une force volumique que l’on notera \vec{f}.

Remarque
La taille du cube d’arête $dx$ est petite on considère alors que les efforts de surface sont constant sur la surface et que la force de volume est constante dans le volume.

2.1- Point de départ

2.1.1- Idée

2.1.2- Exploitation de l’idée

On regroupe les facettes 2 à 2, on impose sur les facette 4,5 et 6 un effort nul et sur les facettes 1,2,3 la différence des efforts.

2.1.3- Attention

\`A présent on va exprimer les effort comme le produit de la surface que multiplie la force par unité de surface : \vec{F}_{1}=S_{1}\vec{F}_{surf,1}

Le cube est donc soumis à 3 forces surfaciques qui s’exercent sur les surface S_{1},S_{2} et S_{3} et la force de volume . Chacune de ces force surfaciques est représentable par un vecteur : c’est le vecteur contrainte. On va projeter les vecteurs contraintes \vec{F}_{surf,1}, \vec{F}_{surf,2}, \vec{F}_{surf,3} sur la base (\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}).

2.2- Matrice des contraintes de Cauchy

2.2.1- Notations

on note \sigma_{ij} =  \vec{F}_{surf,i} .\vec{x}_{j}
avec :

  • i indice de la facette
  • j indice du vecteur sur lequel on projette

On a donc :
\vec{F}_{surf,1} = \pmatrix{
\sigma_{11} \vec{x}\cr \sigma_{21} \vec{y}\cr \sigma_{31} \vec{z}
\end{pmatrix} \text{ } \vec{F}_{surf,2} = \pmatrix{ \sigma_{12} \vec{x}\cr \sigma_{22} \vec{y} \cr \sigma_{32} \vec{z}
} \text{ }
\vec{F}_{surf,3} = \pmatrix{
\sigma_{13} \vec{x}\cr \sigma_{23} \vec{y} \cr \sigma_{33} \vec{z}
}

On range ces vecteurs contraintes dans une matrice :
\underline{\underline{ \sigma}} = \pmatrix{
\vec{F}_{surf,1} & \vec{F}_{surf,2} & \vec{F}_{surf,3}
}=\pmatrix{
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \cr \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \cr \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
}

2.2.2- Remarque

A noter d’ores et déjà que le vecteur contrainte sur la facette 2 (i.e \vec{F}_{surf,2}) :\pmatrix{
\sigma_{21} \cr \sigma_{22} \cr \sigma_{23} 
} peut s’obtenir en multipliant \underline{\underline{ \sigma}} par le vecteur normal extérieur à la facette 2.
 \underline{\underline{\sigma}}.\vec{n}_{ext,S_{2}} =\underline{\underline{ \sigma}} .\vec{y}= \vec{F}_{surf,2}
On peut généraliser ce résultat à une surface d’orientation quelconque
(pas nécessairement la facette 1 ,2 ou 3)
\underline{\underline{ \sigma}} .\vec{n}_{ext} = \vec{F}_{surf}

2.2.3- Démonstration

On considère une facette orientée de façon quelconque. Montrons que : \underline{\underline{ \sigma}} .\vec{n}_{ext} = \vec{F}_{surf}

Écrivons le théorème de la résultante statique sur le tétraèdre :
 S_{1} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{x})+S_{2} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{y})+S_{3} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{z})+\vec{F} + \rho \vec{f} dV= \vec{0}
La force de volume est un infiniment petit d’ordre 3 (dV). On la néglige devant les actions de surface qui sont des infiniment petits d’ordre 2 (dS).L’équation devient :

 S_{1} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{x})+S_{2} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{y})+S_{3} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{z})+S\vec{F}_{surf}=\vec{0}

Pour montrer cette équation on écrit la nullité du flux constant égal à 1 à travers le tétraèdre :

 \iint_{tetraedre} \vec{n}_{ext} dS=\vec{0}
 S_{1} \times-\vec{x}+S_{2} \times-\vec{y}+S_{3} \times-\vec{z} +S \times \vec{n}_{ext}=\vec{0}

Puis on compose par la matrice des contraintes \sigma :

\underline{\underline{\sigma}} S_{1} \times-\vec{x}+\underline{\underline{\sigma}}S_{2} \times-\vec{y}+\underline{\underline{\sigma}}S_{3} \times-\vec{z} +\underline{\underline{\sigma}}S \times \vec{n}_{ext}=\vec{0}

Le PFS nous donnait :
 S_{1} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{x})+S_{2} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{y})+S_{3} \underline{\underline{\sigma}} (-\vec{z})+S\vec{F}_{surf}=\vec{0}
En soustrayant les deux équations on obtient la formule :
 \underline{\underline{\sigma}}\vec{n}_{ext}=\vec{F}_{surf}

2.2.4- Retour au problème

2.3- Équation d’équilibre local

On applique le théorème de la résultante statique au cube de hauteur infinitésimale :
 S\vec{F}_{surf,1} + S\vec{F}_{surf,2}+S\vec{F}_{surf,3} +V\vec{f} =\vec{0}
 S \pmatrix{
\sigma_{11} \cr \sigma_{12} \cr \sigma_{13} \cr
} + S \pmatrix{
\sigma_{11} \cr \sigma_{12} \cr \sigma_{13} \cr
}+S \pmatrix{
\sigma_{11} \cr \sigma_{12} \cr \sigma_{13} \cr
} +V\vec{f} = \vec{0}

 \int_{\partial V} \underline{\underline{\sigma}} \vec{n}_{ext} + \iiint_{V} \vec{f} =0
Soit en utilisant le théorème de Green
\int_{V} div\underline{\underline{\sigma}}+\vec{f} =0
div\underline{\underline{\sigma}}+\vec{f} =0
Cette équation est appelée équation d’équilibre local.

2.4- Symétrie de la matrice des contraintes

On applique le théorème du moment statique en 0 :
 \vec{OM_{1}} \wedge \vec{F}_{1} + \vec{OM_{2}} \wedge \vec{F}_{2}+\vec{OM_{3}} \wedge \vec{F}_{3} = \vec{0}
\pmatrix{
a \cr 0 \cr 0
} \wedge \pmatrix{
\sigma_{11} \cr \sigma_{12} \cr \sigma_{13} \cr
} + \pmatrix{
0 \cr a \cr 0
} \wedge \pmatrix{
\sigma_{21} \cr \sigma_{22} \cr \sigma_{23} \cr
} +\pmatrix{
0 \cr 0 \cr a
} \wedge \pmatrix{
\sigma_{31} \cr \sigma_{32} \cr \sigma_{33} \cr
} =  \pmatrix{
0 \cr 0 \cr 0 \cr
}
 \pmatrix{
0 \cr -a \sigma_{13} \cr a \sigma_{12} \cr
} + \pmatrix{
a\sigma_{23} \cr 0 \cr -a\sigma_{21} \cr
} + \pmatrix{
-a\sigma_{32} \cr a\sigma_{31} \cr 0
}
=\vec{0}

\left\{
\begin{array}{r c l}
\sigma_{23} &=& \sigma_{32} \\
\sigma_{13} &=& \sigma_{31}\\
\sigma_{12} &=& \sigma_{21}
\end{array}
\right.
La matrice des contraintes est donc symétrique.

2.5- Ce qu’il faut savoir

2.5.1- Équation d’équilibre local :


div\underline{\underline{\sigma}}+\vec{f} =0

La matrice des contraintes est symétrique.

2.5.2- Contrainte exercée sur une surface de normale extérieure \vec{n_{ext}}


\underline{\underline{\sigma}} . \vec{n}_{ext} = \vec{F}_{surf,ext \rightarrow S}
\vec{F}_{surf,ext \rightarrow S} est la force exercée par l’extérieur sur le solide par unité de surface.

2.5.3- Remarques importantes
  • lorsque la surface est libre (i.e on impose un effort nul \vec{F}_{surf}=\vec{0} ) alors on doit vérifier :
    
\underline{\underline{\sigma}} . \vec{n}_{ext} = \vec{0}
  • \vec{F}_{surf} a la dimension d’une pression (N.m^{-2}) ou Pa cependant à la différence d’une pression \vec{F}_{surf} n’est pas nécessairement normal à la surface.

++++

 3- Relation de comportement

3.1- Introduction

On s’est intéressé à décrire la déformation d’un élément de solide dans le chapitre 1 et la contrainte à laquelle il est soumis dans le chapitre 2.\
On cherche dans ce chapitre à relier le tenseur (la matrice) des déformations \underline{\underline{\epsilon}} et le tenseur (la matrice) des contraintes \underline{\underline{\sigma}}.

3.2- Relation de comportement : cas général

On cherche à relier "de manière linéaire" \underline{\underline{\sigma}} à \underline{\underline{\epsilon}}.
Pour visualiser les choses on peut représenter \underline{\underline{\sigma}} et \underline{\underline{\epsilon}} sous forme vectorielle :

\underline{\sigma}=\pmatrix{
\sigma_{11} \cr \sigma_{12} \cr  \sigma_{13} \cr \sigma_{21} \cr \sigma_{22} \cr \sigma_{23} \cr  \sigma_{31} \cr \sigma_{32} \cr \sigma_{33}  \cr  
}
\underline{\epsilon}=\pmatrix{
\epsilon_{11} \cr \epsilon_{12} \cr  \epsilon_{13} \cr \epsilon_{21} \cr \epsilon_{22} \cr \epsilon_{23} \cr  \epsilon_{31} \cr \epsilon_{32} \cr \epsilon_{33}  \cr  
}

La première composante de \underline{\sigma} : \sigma_{11} peut dépendre linéairement des 9 composantes de \underline{\epsilon} en d’autres termes on peut écrire :
\sigma_{11} = K_{11,11}\epsilon_{11}+ K_{11,12}\epsilon_{12}  +K_{11,13}\epsilon_{13}+ K_{11,21}\epsilon_{21}+K_{11,22}\epsilon_{22} +K_{11,23}\epsilon_{23}+ K_{11,31}\epsilon_{31}+K_{11,23}\epsilon_{23}+ K_{11,33}\epsilon_{33}

On peut faire de même pour les 9 composantes de \underline{\sigma}. A terme en utilisant les notations indicielles on a :
\sigma_{ij}= K_{ijkl}\epsilon_{kl}
Sachant que 1\leq i \leq 3 ,1\leq j \leq 3 ,1\leq k \leq 3 ,1\leq l \leq 3  : l’opérateur \underline{\underline{\underline{\underline{K}}}} possède à priori 81 coefficients indépendants.

3.3- Relation de comportement pour un matériau élastique linéaire isotrope

Pour un matériau élastique linéaire isotrope on montre en utilisant des arguments de symétrie qu’il n’y a plus que deux coefficients indépendants.

On peut choisir :

  • E et \nu
    avec E le module d’élasticité longitudinale : module d’Young et \nu le coefficient de Poisson.
    De plus on a la relation G=\frac{E}{2(1+\nu)}

On peut écrire alors :
 \underline{\underline{\epsilon}}= \frac{1+\nu}{E} \underline{\underline{\sigma}}  - \frac{\nu}{E} tr(\underline{\underline{\sigma}}) \underline{\underline{I}}
et inversement :
\underline{\underline{\sigma}}= \frac{E}{1+\nu} \underline{\underline{\epsilon}} +\frac{\nu E}{(1+ \nu) (1-2 \nu)} Tr[\underline{\underline{ \epsilon}} ] \underline{\underline{I}}

  • \lambda et \mu les coefficients de Lamé \mu est le module d’élasticité transversal (\mu= G).
    On peut écrire alors :
    
\underline{\underline{\sigma}}= \lambda Tr[\underline{\underline{ \epsilon}} ] \underline{\underline{I}} + 2 \mu \underline{\underline{\epsilon}}
    et inversement :
     \underline{\underline{\epsilon}}= \frac{1}{2 \mu} \underline{\underline{\sigma}} - \frac{\lambda}{(3\lambda+2\mu) 2\mu} Tr(\underline{\underline{\sigma}}) \underline{\underline{I}}

3.4- Ce qu’il faut savoir

Il faut connaître :

\underline{\underline{\sigma}}= \lambda Tr[\underline{\underline{ \epsilon}} ] \underline{\underline{I}} + 2 \mu \underline{\underline{\epsilon}}
inversement :
 \underline{\underline{\epsilon}}= \frac{1}{2 \mu} \underline{\underline{\sigma}} - \frac{\lambda}{(3\lambda+2\mu) 2\mu} Tr(\underline{\underline{\sigma}}) \underline{\underline{I}}
et
 \underline{\underline{\epsilon}}= \frac{1+\nu}{E} \underline{\underline{\sigma}}  - \frac{\nu}{E} tr(\underline{\underline{\sigma}}) \underline{\underline{I}}]
inversement :
[\underline{\underline{\sigma}}= \frac{E}{1+\nu} \underline{\underline{\epsilon}} +\frac{\nu E}{(1+ \nu) (1-2 \nu)} Tr[\underline{\underline{ \epsilon}} ] \underline{\underline{I}}
Pour inverser il faut prendre la trace de la matrice \underline{\underline{\epsilon}} ou de la matrice \underline{\underline{\sigma}} pour faire apparaître Tr(\underline{\underline{\sigma}}) ou Tr(\underline{\underline{\epsilon}})

++++

 4- Formulaire

4.1- Coordonnées cartésiennes

4.1.1- Opérateur divergence
4.1.2- Pour un vecteur :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{x}(x,y,z) \vec{x} + u_{y}(x,y,z) \vec{y}+u_{z}(x,y,z) \vec{z}


div \vec{u} = \frac{\partial u_{x}}{\partial x} +\frac{\partial u_{y}}{\partial y} +\frac{\partial u_{z}}{\partial z}

La divergence d’un vecteur est un scalaire (i.e : un nombre).

4.1.3- Pour une matrice :

Soit \underline {\underline{\sigma}} une matrice de coefficients :  \underline{\underline{\sigma}} = \pmatrix{
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \cr
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \cr
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \cr
}


div \underline{\underline{\sigma}} = \pmatrix{
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} \cr
\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} +\frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} \cr
\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} +\frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} +\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} 
}

La divergence d’une matrice est un vecteur.

4.2- Opérateur gradient

4.2.1- Pour une fonction scalaire

Soit f une fonction.

grad (f) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{x} +\frac{\partial f}{\partial y} \vec{y} +\frac{\partial f}{\partial z} \vec{z}
Le gradient d’une fonction est un vecteur.

4.2.2- Pour un vecteur :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées : \vec{u} = u_{x}(x,y,z) \vec{x} + u_{y}(x,y,z) \vec{y}+u_{z}(x,y,z) \vec{z}


grad \vec{u} = \pmatrix{
\frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} & \frac{\partial u_{x}}{\partial z} \cr
\frac{\partial u_{y}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} & \frac{\partial u_{y}}{\partial z} \cr
\frac{\partial u_{z}}{\partial x} & \frac{\partial u_{z}}{\partial y} & \frac{\partial u_{z}}{\partial z}
}

Le gradient d’un vecteur est une matrice.

4.3- Coordonnées cylindriques

4.3.1- Opérateur divergence
4.3.2- Pour un vecteur :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{r}(r,\theta ,z) \vec{e}_{r} + u_{\theta}(r,\theta ,z) \vec{e}_{\theta }+u_{z}(r,\theta,z) \vec{e}_{z}


div \vec{u} = \frac{1}{r} \{ \frac{\partial (r u_{r})}{\partial r} +\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial (r u_{z})}{\partial z} \}

La divergence d’un vecteur est un scalaire (i.e : un nombre).

4.3.3- Pour une matrice :

Soit \underline {\underline{\sigma}} une matrice de coefficients :  \underline{\underline{\sigma}}= \pmatrix{
\sigma_{rr} & \sigma_{r \theta} & \sigma_{rz} \cr
\sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta \theta } & \sigma_{\theta z} \cr
\sigma_{z r} & \sigma_{z \theta} & \sigma_{zz} \cr
\end{pmatrix}


div \underline{\underline{\sigma}} = \pmatrix{
\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_{r \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial z} + \frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta \theta}}{r}\cr
\frac{\partial \sigma_{\theta r}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial z} + \frac{\sigma_{r \theta} + \sigma_{\theta r}}{r} \cr
\frac{\partial \sigma_{zr}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{z \theta }}{\partial \theta} +\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} +\frac{\sigma_{zr}}{r}
}

La divergence d’une matrice est un vecteur.

4.4- Opérateur gradient

4.4.1- Pour une fonction scalaire

Soit f une fonction.

grad (f) = \frac{\partial f}{\partial r} \vec{e}_{r} +\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta } +\frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_{z}
Le gradient d’une fonction est un vecteur.

4.4.2- Pour un vecteur :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{r}(r,\theta ,z) \vec{e}_{r} + u_{\theta}(r,\theta ,z) \vec{e}_{\theta }+u_{z}(r,\theta,z) \vec{e}_{z}


grad \vec{u} = \pmatrix{
\frac{\partial u_{r}}{\partial r} & \frac{1}{r} (\frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} - u_{\theta } )& \frac{\partial u_{r}}{\partial z} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} & \frac{1}{r} ( \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{r} )& \frac{\partial u_{\theta}}{\partial z} \\
\frac{\partial u_{z}}{\partial r} & \frac{1}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial \theta} & \frac{\partial u_{z}}{\partial z}
}

Le gradient d’un vecteur est une matrice.

4.5- Coordonnées sphériques

4.5.1- Opérateur divergence
4.5.2- Pour un vecteur :

Soit \underline{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{r}(r,\theta ,\phi) \vec{e}_{r} + u_{\theta}(r,\theta ,\phi) \vec{e}_{\theta }+u_{\phi }(r,\theta ,\phi) \vec{e}_{\phi }


div ( \vec{u} )=  \frac{\partial ( u_{r})}{\partial r} +\frac{2 u_{r}}{r}+ \frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} +\frac{1}{r \sin (\theta ) }\frac{\partial ( u_{\phi })}{\partial \phi} + \frac{\cos (\theta)}{r \sin (\theta)}u_{\theta }

La divergence d’un vecteur est un scalaire (i.e : un nombre).

4.5.3- Pour une matrice :

Soit \underline {\underline{\sigma}} une matrice de coefficients :  \underline{\underline{\sigma}}= \pmatrix{
\sigma_{rr} & \sigma_{r \theta} & \sigma_{rz} \cr
\sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta \theta } & \sigma_{\theta z} \cr
\sigma_{z r} & \sigma_{z \theta} & \sigma_{zz} \cr
}


div \underline{\underline{\sigma}} = \pmatrix{
\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} +\frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_{r \theta}}{\partial \theta} +\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial \sigma_{r \phi}}{\partial 
\phi} + \frac{2 \sigma_{rr}-\sigma_{\theta \theta}-\sigma_{\phi \phi }}{r} + \frac{\cos \theta}{r \sin \theta} \sigma_{r \theta}\cr
\frac{\partial \sigma_{\theta r}}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} +\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\partial \phi} + \frac{3 \sigma_{r \theta}}{r} + \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}(\sigma_{\theta \theta}-\sigma_{ \phi \phi}) \cr
\frac{\partial \sigma_{\phi r}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\phi \theta }}{\partial \theta} +\frac{1}{r \sin \theta }\frac{\partial \sigma_{\phi \phi}}{\partial \phi} +3\frac{\sigma_{\phi r}}{r}+ \frac{2\cos \theta}{r \sin \theta} \sigma_{\theta \phi }
}

La divergence d’une matrice est un vecteur.

4.6- Opérateur gradient

4.6.1- Pour une fonction scalaire

Soit f une fonction.

grad (f) = \frac{\partial f}{\partial r} \vec{e}_{r} +\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta } +\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \vec{e}_{\phi}
Le gradient d’une fonction est un vecteur.

4.6.2- Pour un vecteur :

Soit \vec{u} un vecteur de coordonnées :  \vec{u} =u_{r}(r,\theta ,\phi) \vec{e}_{r} + u_{\theta}(r,\theta ,\phi) \vec{e}_{\theta }+u_{z}(r,\theta,\phi) \vec{e}_{\phi}


grad \vec{u} = \pmatrix{
\frac{\partial u_{r}}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta }}{r} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u_{r}}{\partial \phi} -\frac{u_{\phi}}{r} \cr
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} & \frac{1}{r}  \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} +\frac{ u_{r}}{r}& \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi}- \frac{\cos \theta}{r \sin \theta} u_{\phi} \cr
\frac{\partial u_{\phi }}{\partial r} & \frac{1}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{u_{r}}{r} + \frac{\cos \theta}{r \sin \theta} u_{\theta }
}

Le gradient d’un vecteur est une matrice.

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