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Cours, exercices et corrections en SI

Exercices de Cinématique : Roulement & Glissement

Exercices 25 janvier 2015, par Steven Masfaraud

Trois exercices de type colle de cinématique. Les exercices précédents de calcul de vitesse trouvent leur sens dans ces calculs de condition de roulement ou de glissement.
Ces exercices se rapportent au cours de cinématique.

Butée à billes

Une butée à bille permet de réaliser une liaison pivot entre les deux bagues. Contrairement à un roulement standard (à gauche figure suivante), la normale du contact des billes est parallèle à l’axe de rotation, ce qui permet de supporter des charges axiales plus élevées.

De gauche à droite : dessins normalisés d’un roulement et d’une butée à billes, modélisation cinématique de la butée

Question 1 :Tracer le graphe des liaisons correspondant à la modélisation cinématique

Question 2 : Tracer la figure plane de changement de base 0\rightarrow 1

Après avoir observé le mouvement des billes, on postule la forme suivante du torseur cinématique \{ \mathcal{V} (2/0) \}_B :

 \{ \mathcal{V} (2/0) _B\}
= \left\{ \begin{array}{c}
     \omega_{20x}\vec{x_1} + \omega_{20z}\vec{z_0}  \
     R \omega_{20z} 
\end{array} \right\} _{B}

Question 3 : Justifier la forme du torseur cinématique postulée

Question 4 : Écrire les conditions de roulement sans glissement aux points A et C. En déduire la relation entre la vitesse \omega _{10} de l’arbre guidé par la bague de gauche et la vitesse  \omega_{20z}  des billes par rapport au bâti.

Question 5 : Lors de la rotation, la bille est éjectée par la force centrifuge. Le constructeur du roulement donne alors une vitesse 1/0 maximale. Calculer l’accélération tangentielle de la bille en fonction de \omega _{10}.

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Mécanisme de levé de soupapes

Un moteur automobile doit gérer l’admission d’air frais et l’expulsion des gaz brûlés dans chaque cylindre de manière synchrone avec la course du piston. Une soupape (ici la pièce 2) translate pour venir obstruer ou libérer une conduite menant au cylindre. La solution technique la plus simple pour l’actionner consiste à utiliser une came (pièce 1 guidé en rotation par rapport à la culasse 0 et de maintenir un contact avec la soupape au point C grâce à un ressort de rappel. Une autre soupape gère l’expulsion des gaz brûlés. L’arbre à cames 1 est lié par la courroie de distribution au vilebrequin, ce impose un fonctionnement synchrone.

Pour simplifier les calculs, le profil de la came est supposé cylindrique de centre B.

Question 1 :Tracer le graphe des liaisons

Question 2 : Tracer la figure plane de changement de base 0\rightarrow 1

Question 3 : Écrire la condition de contact (glissement) au point C

Question 4 : En déduire la relation entre \lambda et \theta

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Réducteur à plateaux

Un réducteur est composé de deux plateaux 1 et 2 qui roulent sans glisser l’un sur l’autre. Les positions en rotations des pièces 1 et 2 sont repérées par rapport au bâti 0 par respectivement les angles \theta_1 et \theta_2.

Question 1 :Tracer le graphe des liaisons

Question 2 : Tracer les figures planes de changement de base

Question 3 : Écrire la condition de roulement sans glissement en A

Question 4 : En déduire la relation entre \theta_1 et \theta_2. Exprimer le rapport de réduction en supposant 1 l’entrée et 2 la sortie

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