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Cours, exercices et corrections en SI

Energétique

Cours 13 septembre 2013, par Hadrien Bainier

Ce cours part des notions vues au lycée sur l’énergétique pour l’étendre à un solide.

 1- Puissance

1.1- Rappels de terminale

On a déjà vu en classe de terminale que pour une masse ponctuelle la puissance s’exprime comme le produit scalaire de la force \vec{F} par la vitesse \vec{V(M/R)}.

 P(\vec{F}\rightarrow m /R) = \vec{F} .\vec{V(M/R)}

1.1.1- Remarque

On remarque que la puissance dépend du référentiel car \vec{V(M/R)} dépend du référentiel R.
La principale différence entre la puissance des efforts sur un point de masse m et un solide S est que le point "ne tourne pas et ne subit pas de moment" contrairement au solide. Le moment et la vitesse de rotation interviendront dans la puissance des efforts sur un solide.

1.2- Point de départ

Pour un système matériel E on définit l’énergie la puissance d’un effort par :
P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \int_{S}  \vec{V(M/R)} .d\vec{F}

Si le système matériel E est un solide S alors on a  \vec{V(M\in S/R)}= \vec{V(A\in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}

On peut alors réécrire la puissance de l’effort \vec{F} par rapport au référentiel R sous la forme :
P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \int_{S}  (\vec{V(A \in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}) d\vec{F}

P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \int_{S}  \vec{V(A \in S/R)}d\vec{F}+ \int_{S} d\vec{F} .(\vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM})

P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \int_{S}  \vec{V(A \in S/R)}d\vec{F}+ \int_{S}\vec{\Omega(S/R)} . ( \vec{AM} \wedge d\vec{F} )

En utilisant le fait que le produit mixte de (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) est défini par (\vec{a} \wedge \vec{b}).\vec{c} et qu’il est invariant par permutation circulaire c’est à dire que \vec{c}.(\vec{a} \wedge \vec{b})= \vec{a}.(\vec{b} \wedge \vec{c})=\vec{a}(\vec{b} \wedge \vec{c}).

P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \vec{V(A \in S/R)}\int_{S}  d\vec{F}+ \vec{\Omega(S/R)} .\int_{S} ( \vec{AM} \wedge d\vec{F} )

P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \vec{V(A \in S/R)} \vec{F}+ \vec{\Omega(S/R)} . \vec{M_{A(,F \rightarrow S})}

On reconnaît le comoment du torseur des efforts exprimé au point A et du torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport à R exprimé au point A

1.3- Puissance d’un effort sur un solide S

Pour calculer la puissance on utilisera l’une des écritures ci dessous :
P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \vec{V(A \in S/R)} \vec{F}+ \vec{\Omega(S/R)} . \vec{M_{A(F \rightarrow S})}
ou
 P (\vec{F}\rightarrow S /R) =  
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{F}\\
\vec{M_{A}}\\
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega(S/R)}\\
\vec{V(A \in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

1.4- Puissance des efforts sur un système de 2 solides \Sigma= S_{1} \bigcup S_{2}

Soit un ensemble de solides \Sigma =S_{1} \bigcup S_{2}.

Bilan des moments des torseurs des actions mécaniques exercées sur S_{1} exprimés en A.

  • \{F(ext \rightarrow S_{1}) \}_{A}
  • \{F(S_{2} \rightarrow S_{1}) \}_{A}

Bilan des moments des torseurs des actions mécaniques exercées sur S_{2} exprimés en A.

  • \{F(ext \rightarrow S_{2}) \}_{A}
  • \{F(S_{1} \rightarrow S_{2}) \}_{A}

On pose P_{ext}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma ) la puissance des efforts extérieurs à \Sigma par rapport à R.
P_{e}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} +
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

On pose P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma ) la puissance des efforts intérieurs à \Sigma par rapport à R.
P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

1.4.1- Réécriture de la puissance des efforts intérieurs

P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}  [

=\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
En utilisant la troisième loi de Newton

-\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}=\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

=
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} (
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}  )

Or :
 \left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}  = 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega( S_{1}/R)}\\
\vec{V(A\in S_{1}/R)}
\end{array}
\right\}_{A} - \left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega(S_{2}/R)}\\
\vec{V(A\in S_{2}/R)}
\end{array}
\right\}_{A}
=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega( S_{1}/S_{2})}\\
\vec{V(A\in S_{1}/S_{2})}
\end{array}
\right \}_{A}

Finalement :
P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma ) = 
 \left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V( S_{1}/S_{2})
\end{array}
\right \}_{A}

1.4.2- Remarque

La puissance des efforts intérieurs ne dépend pas du référentiel R (contrairement à la puissance des efforts extérieurs).

1.4.3- Remarque très importante

Lorsqu’on applique le PFD à un système \Sigma les inter efforts ne jouent pas. Dans le chapitre énergie puissance qui suit, les inter efforts vont apporter une contribution par le biais de la puissance des inter efforts P_{int}.\

Pour nous résumer :

PFD Théorème de l’énergie cinétique
Les inter efforts n’interviennent pas ! La puissance des inter-efforts intervient !

++++

 2- Énergétique

2.1- Rappels de terminale

2.1.1- énergie cinétique d’une masse ponctuelle

On a déjà vu en classe de terminale que l’énergie cinétique d’une ponctuelle m est définie par :
E_{c} (m/R) = \frac{1}{2}m \vec{V(M/R)}^{2}

2.1.2- Remarque

On peut remarquer que \vec{V(M/R)}^{2} dépend du référentiel donc l’énergie cinétique dépend du référentiel d’observation.

2.1.3- Point de départ

Pour un système matériel E on définit l’énergie cinétique par :
E_{c} (E/R) = \frac{1}{2} \int_{E}  \vec{V(M/R)}^{2} dm

Si le système matériel E est un solide S alors on a \vec{V(M\in S/R)}= \vec{V(A\in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}

On peut alors réécrire l’énergie cinétique sous la forme :

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2} \int_{S}  (\vec{V(A/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}) \vec{V(M\in S/R)} dm

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2}\int_{S}  (\vec{V(A/R)}\vec{V(M\in S/R)} dm+ \frac{1}{2}\int_{S} ( \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}) \vec{V(M\in S/R)} dm

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2}m \vec{V(A \in S/R)} \vec{V(G\in S/R)} + \frac{1}{2}\int_{S} ( \vec{AM} \wedge \vec{V(M\in S/R)} ) \vec{\Omega(S/R)} dm

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2}m \vec{V(A \in S/R)} \vec{V(G\in S/R)} + \vec{\sigma(A \in S/R)}\vec{\Omega(S/R)}

en utilisant le fait que \int_{S}  \vec{V(M \in S/R)}dm =m\vec{V(G\in S/R)} et en faisant une permutation circulaire du produit mixte (\vec{a}\wedge \vec{b}).\vec{c} = (\vec{c}\wedge \vec{a}).\vec{b} =(\vec{b}\wedge \vec{c}).\vec{a}

On reconnaît le comoment du torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport à R exprimé au point A et du torseur cinétique du solide S dans son mouvement par rapport à R exprimé au point A

2.2- Énergie cinétique d’un solide S

Pour calculer l’énergie cinétique on utilisera l’une des écritures ci dessous :

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2}m \vec{V(A \in S/R)} \vec{V(G\in S/R)} + \vec{\sigma(A \in S/R)}\vec{\Omega(S/R)}
ou
 E_{c} (S/R) = \frac{1}{2} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
C(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}= \frac{1}{2} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega(S/R)}\\
\vec{V(A \in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G \in S/R)}\\
\vec{\sigma(A\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

2.2.1- Remarque importante

Il est très fréquent d’oublier le facteur \frac{1}{2}. Gardons bien en tête l’expression de l’énergie d’une masse ponctuelle en "\frac{1}{2} m v^{2}"

++++

 3- Théorème de l’énergie cinétique

3.1- Théorème de l’énergie cinétique pour un solide $S$

Pour un solide S dans un mouvement par rapport à un référentiel galiléen R_{g} on a :
 \frac{d E_{c}(S/R_{g})}{dt} = P(\vec{F}_{ext} \rightarrow S)

3.1.1- Démonstration

On part du principe fondamental de la dynamique appliqué au solide S sous forme torsorielle :

\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S/R)
\end{array} 
\right\}_{A} =
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}

On multiplie chaque membre par le torseur cinématique :


\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S/R)
\end{array} 
\right\}_{A} \left\{
\begin{array}{r c l}
V(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}

Le membre de gauche est par définition de la puissance la puissance des efforts sur S par rapport à R.

Il nous reste à montrer que le membre de gauche est bien la dérivée de l’énergie cinétique.

On écrit la dérivée de l’énergie cinétique en repartant de l’expression intégrale de départ :

  \frac{d E_{c}(S/R_{g})}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{S} \frac{1}{2} \vec{V_{M \in S/R}}^{2} dm

On a le droit de rentrer la dérivation sous le signe intégral d’après le principe de conservation de la masse. (Voir chapitre Cinétique)

  \int_{S}  \vec{V(M \in S/R)} .\vec{a(M \in S/R)} dm

On fait intervenir la vitesse du point A avec \vec{V(M\in S/R)}= \vec{V(A\in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM} pour faire apparaître le torseur cinématique exprimé au point A :

 = \int_{S}  (\vec{V(A\in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}) .\vec{a(M \in S/R)} dm

 = \int_{S}  (\vec{V(A\in S/R)}.\vec{a(M \in S/R)}+\int_{S} ( \vec{\Omega(S/R)}\wedge \vec{AM}) .\vec{a(M \in S/R)} dm

 = \int_{S}  \vec{V(A\in S/R)}.\vec{a(M \in S/R)}+\int_{S} ( \vec{AM}\wedge\vec{a(M \in S/R)}  ) .\vec{\Omega(S/R)}dm

 = \vec{V(A\in S/R)}. \int_{S}  \vec{a(M \in S/R)}+ \vec{\Omega(S/R)}.\int_{S} ( \vec{AM}\wedge\vec{a(M \in S/R)}  ) dm

On reconnaît le commoment du torseur dynamique et du torseur cinématique.\

3.2- Théorème de l’énergie cinétique pour deux solides \Sigma= S_{1} \bigcup S_{2}

Soit un ensemble de solides \Sigma =S_{1} \bigcup S_{2}.

Pour un ensemble de solides \Sigma dans un mouvement par rapport à un référentiel galiléen R_{g} on a :
\frac{d E_{c}( \Sigma / R_{g})}{dt} = P_{ext}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma ) + P_{int}( \vec{F}_{int} )

3.2.1- Démonstration

On applique le théorème de l’énergie cinétique au solide S_{1} et au solide S_{2}.On a :

Bilan des moments des torseurs des actions mécaniques exercées sur S_{1} exprimés en A.

  • \{F(ext \rightarrow S_{1}) \}_{A}
  • \{F(S_{2} \rightarrow S_{1}) \}_{A}

Bilan des moments des torseurs des actions mécaniques exercées sur S_{2} exprimés en A.

  • \{F(ext \rightarrow S_{2}) \}_{A}
  • \{F(S_{1} \rightarrow S_{2}) \}_{A}

Pour le solide S_{1} on a :


\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S_{1}/R)
\end{array} 
\right\}_{A} \left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

Pour le solide S_{2} on a :


\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S_{2}/R)
\end{array} 
\right\}_{A} \left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

On fait la somme de ces deux équations.

On réécrit le premier membre :
\frac{d E_{c}( S_{1} / R_{g})}{dt} + \frac{d E_{c}( S_{2} / R_{g})}{dt} =\frac{d E_{c}( \Sigma / R_{g})}{dt}

On réécrit le second membre :

On pose P_{ext}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma ) la puissance des efforts extérieurs à \Sigma par rapport à R.
P_{e}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} +
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

On pose P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma ) la puissance des efforts intérieurs à \Sigma par rapport à R.
P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

3.3- Réécriture de la puissance des inter efforts

P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
+
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

=\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

En utilisant la troisième loi de Newton -\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}=\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{1} \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

=
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} (
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}  )

Or :
 \left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} 
-
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}  = 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega( S_{1}/R)}\\
\vec{V(A\in S_{1}/R)}
\end{array}
\right\}_{A} - \left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega(S_{2}/R)}\\
\vec{V(A\in S_{2}/R)}
\end{array}
\right\}_{A}
=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega( S_{1}/S_{2})}\\
\vec{V(A\in S_{1}/S_{2})}
\end{array}
\right \}_{A}

Finalement :
P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma ) = 
 \left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V( S_{1}/S_{2})
\end{array}
\right \}_{A}

3.3.1- Remarque

La puissance des efforts intérieurs ne dépend pas du référentiel R (contrairement à la puissance des efforts extérieurs).

3.4- Remarque très importante

Lorsqu’on applique le PFD à un système \Sigma les inter efforts ne jouent pas. Dans le chapitre énergie puissance qui suit, les inter efforts vont apporter une contribution par le biais de la puissance des inter efforts P_{i}.

Pour nous résumer :

PFD Théorème de l’énergie cinétique
Les inter efforts n’interviennent pas ! La puissance des inter efforts intervient !
3.4.1- Remarques

Lorsqu’on considère un système de solides il y a des efforts intérieurs on peut donc parler de puissance des efforts intérieurs P_{int}. On ne peut pas parler d’effort intérieurs et encore moins de puissance des efforts intérieurs si on considère un seul solide...

Le théorème de l’énergie cinétique n’apporte pas d’équation supplémentaire par rapport au principe fondamental de la dynamique. Le théorème de l’énergie cinétique ne fonctionne que pour des système à 1 degré de liberté. En fait on va projeter le PFD sur le degré de liberté qui travaille.

\subsectionThéorème de l’énergie cinétique pour un ensemble de solides \Sigma
Pour un ensemble de solides \Sigma dans un mouvement par rapport à un référentiel galiléen R_{g} on a :
\frac{d E_{c}( \Sigma / R_{g})}{dt} = P_{ext}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma ) + P_{int}( \vec{F}_{int} )

On a exactement le même résultat que pour deux solides, la démonstration est rigoureusement identique mais les notations deviennent pénibles.

++++

 4- Bilan

4.1- Puissance

4.1.1- Puissance d’un effort pour un solide S par rapport au référentiel R

P (\vec{F}\rightarrow S /R) = \vec{V(A \in S/R)} \vec{F}+ \vec{\Omega(S/R)} . \vec{M_{A(F \rightarrow S})}

4.1.2- Puissance des efforts sur un système de 2 solides \Sigma= S_{1} \bigcup S_{2}

P_{e}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma )= 
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A} +
\left\{
\begin{array}{r c l}
F(ext \rightarrow S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S_{2}/R)
\end{array}
\right\}_{A}

P_{int}( \vec{F} _{int} \rightarrow \Sigma ) = 
 \left\{
\begin{array}{r c l}
F(S_{2} \rightarrow S_{1}/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
V( S_{1}/S_{2})
\end{array}
\right \}_{A}

4.2- Énergie cinétique

4.2.1- Énergie cinétique d’un solide S par rapport au référentiel R

E_{c} (S/R) = \frac{1}{2}m \vec{V(A \in S/R)} \vec{V(G\in S/R)} + \vec{\sigma(A \in S/R)}\vec{\Omega(S/R)}
ou
 E_{c} (S/R) = \frac{1}{2} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
V(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
C(S/R)
\end{array}
\right\}_{A}= \frac{1}{2} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\vec{\Omega(S/R)}\\
\vec{V(A \in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G \in S/R)}\\
\vec{\sigma(A\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

en n’oubliant pas le facteur \frac{1}{2}

4.3- Théorème de l’énergie cinétique

4.3.1- Théorème de l’énergie cinétique sur un solide S

Pour un solide S dans un mouvement par rapport à un référentiel galiléen R_{g} on a :
 \frac{d E_{c}(S/R_{g})}{dt} = P(\vec{F}_{ext} \rightarrow S)

4.3.2- Théorème de l’énergie cinétique sur un ensemble de solides \Sigma

Pour un ensemble de solides \Sigma dans un mouvement par rapport à un référentiel galiléen R_{g} on a :
 \frac{d E_{c}( \Sigma / R_{g})}{dt} = P_{ext}( \vec{F} _{ext} \rightarrow \Sigma ) + P_{int}( \vec{F}_{int} )

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