Sciences-industrielles.com

Cours, exercices et corrections en SI

Dynamique

Cours 13 septembre 2013, par Hadrien Bainier

Dans ce chapitre on va s’intéresser à un nouveau torseur le torseur dynamique. On terminera par la formulation du principe fondamental de la dynamique pour un solide et pour un ensemble de solides.

 1- Torseur dynamique

1.1- Point de départ

On s’intéresse au torseur défini par les quantités suivantes :


\left\{
\begin{array}{r c l}
\int_{S} \vec{a(M\in S/R)}dm \\
\int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm
\end{array}
\right\}_{A}

Or on peut réécrire la résultante cinétique :

\int_{S} \vec{a(M\in S/R)}dm = \int_{S} [\frac{d^{2}}{dt^{2}} \vec{OM}]_{R}dm = [\frac{d^{2}}{dt^{2}} \int_{S} \vec{OM}dm]_{R}
par application de la conservation de la masse
=[\frac{d^{2}}{dt^{2}} m \vec{OG}]_{R}=m \vec{a(G\in S/R)}

De plus on peut réécrire le moment dynamique, pour ce faire on part de la dérivée du moment cinétique :

\frac{d}{dt}\vec{\sigma(A\in S/R)}]_{R} = [\frac{d}{dt}\int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm]_{R}

par définition de  \vec{\sigma(A\in S/R)}

= \int_{S} [\frac{d}{dt}\vec{AM}]_{R} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm]_{R} +  \int_{S} \vec{AM} \wedge [\frac{d}{dt}\vec{V(M\in S/R)}dm]_{R}

en dérivant le produit vectoriel comme un produit classique (uv)’= u’v+uv’ la dérivée du produit vectoriel s’écrit (u\wedge v)’=u’\wedge v+u\wedge v’

= \int_{S} ([\frac{d}{dt}\vec{AO}]_{R}+[\frac{d}{dt}\vec{OM}]_{R}) \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm +  \int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm

On décompose \vec{AM} en \vec{AO} + \vec{OM} de manière à faire apparaître \vec{V(A\in S/R)} et \vec{V(M\in S/R)}

= \int_{S} (-\vec{V(A\in S/R)}+\vec{V(M\in S/R)}) \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm +   \vec{\delta(M\in S/R)}dm
par définition de la vitesse et par définition du moment dynamique.
 = \int_{S} (-\vec{V(A\in S/R)}\wedge \vec{V(M\in S/R)}dm +\int_{S}\vec{V(M\in S/R)}) \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm +   \vec{\delta(M\in S/R)}

= -\vec{V(A\in S/R)}\wedge \int_{S} ( \vec{V(M\in S/R)}dm + \vec{\delta(M\in S/R)}dm

en remarquant que \vec{V(M\in S/R)}) \wedge \vec{V(M\in S/R)}=\vec{0} et en sortant -\vec{V(A\in S/R)} de l’intégrale.
Finalement :

\vec{\delta(M\in S/R)} = \frac{d}{dt}\vec{\sigma(A\in S/R)}]_{R} + m \vec{V(A\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}

1.2- Définition

Le torseur dynamique d’un solide S exprimé au point A dans son mouvement par rapport à un référentiel R exprimé dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) est :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\frac{d}{dt}\vec{\sigma(A\in S/R)}]_{R} + m \vec{V(A\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

1.3- Changement de point

On cherche à exprimer le moment dynamique en B du solide S par rapport à R : \vec{\delta(B\in S/R)} en fonction du moment dynamique en A du solide S par rapport à R : \vec{\delta(A\in S/R)}

1.3.1- Formule

On a la formule :
\vec{\delta(B\in S/R)} =\vec{\delta(A\in S/R)}+m \vec{a(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

1.3.2- Démonstration

\vec{\delta(B\in S/R)}=\int_{S} \vec{BM} \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm = \int_{S} (\vec{BA} +\vec{AM}) \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm

par la relation de Chasles pour faire intervenir \vec{\delta(A\in S/R)}

=\int_{S} \vec{BA}  \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm+\int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{a(M\in S/R)}dm
l’intégrale de la somme est la somme des intégrales

=\vec{\delta(A\in S/R)}+ \vec{BA}  \wedge \int_{S}  \vec{a(M\in S/R)}dm

par définition du moment dynamique \vec{\delta(A\in S/R)}

=\vec{\delta(A\in S/R)}+ m\vec{a(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

car \int_{S}  \vec{a(M\in S/R)}dm= m\vec{a(G\in S/R)} (voir résultante dynamique)

1.4- Cas particuliers

1.4.1- Moment dynamique en un point fixe A

Si le point A du solide S est fixe par rapport au référentiel R alors :

\vec{\delta(A\in S/R)} =[\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}]_{R}
et donc :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\ [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R} 
\end{array}
\right\}_{A}

1.4.2- Démonstration

[\vec{\delta(A\in S/R)}=\frac{d}{dt}\vec{\sigma(A\in S/R)}]_{R} + m \vec{V(A\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
par définition de \vec{\delta(A\in S/R)}

 [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R}

car \vec{V(A\in S/R)}=\vec{0}

1.4.3- Moment cinétique exprimé au centre de masse $G$

\vec{\delta(G\in S/R)} = [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}]_{R}

1.4.4- Démonstration

\vec{\delta(G\in S/R)}=\frac{d}{dt}\vec{\sigma(G\in S/R)}]_{R} + m \vec{V(G\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
par définition de \vec{\delta(G\in S/R)}
 [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R}

car \vec{V(G\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}=\vec{0}

et donc :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(G\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{G}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\ [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R} 
\end{array}
\right\}_{G}

1.5- Torseur dynamique d’un ensemble de solides

Soit un solide S de masse m composé de n solides S_{i} de masse m_{i}
alors :


\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S=(\sum_{i} S_{i}) /R)
\end{array}
\right\}_{A}=\sum_{i}
\left\{
\begin{array}{r c l}
D(S_{i} /R)
\end{array}
\right\}_{A}
avec
 m \vec{a(G\in S/R)} = \sum_{i} m_{i} \vec{a(G_{i}\in S_{i}/R)}
et
\vec{\delta(G\in S/R)} = \sum_{i} \vec{\delta(G_{i}\in S_{i}/R)}

++++

 2- Principe fondamental de la dynamique pour un solide S

2.1- Sous forme vectorielle

Il existe une classe de référentiels appelés référentiels galiléen. Dans un référentiel galiléen on a :

2.2- Théorème de la résultante dynamique


m . \vec{a(G \in S / R_{g}})= \sum \vec{F_{ext \rightarrow S}}

2.2.1- Théorème du moment dynamique


\vec{\delta(A \in S / R_{g}})= \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow S})}}

2.2.2- Sous forme torsorielle


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R_{g})} \\
\vec{\delta(A\in S/R_{g})}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow S}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow S})}}
\end{array}
\right\}_{A}


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R_{g})} \\
\ [\frac{d}{dt} \underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R_{g})_{base}]_{R_{g}} 
\end{array}
\right\}_{G}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow S}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow S})}}
\end{array}
\right\}_{A}

++++

 3- PFD pour 2 solides \Sigma=S_{1} \bigcup S_{2}

Soit un ensemble de solides \Sigma =S_{1} \bigcup S_{2}.

3.1- Théorème de la résultante dynamique

On applique le théorème de la résultante dynamique au solide S_{1} et au solide S_{2}.On a :


m_{1} . \vec{a(G_{1} \in S_{1} / R_{g}})= \sum \vec{F_{ext \rightarrow S_{1}}}

m_{2} . \vec{a(G_{2} \in S_{2} / R_{g}})= \sum \vec{F_{ext \rightarrow S_{2}}}

On fait la somme de ces deux équations.

On réécrit le premier membre :m_{1} . \vec{a(G_{1} \in S_{1} / R_{g}}) + m_{2} . \vec{a(G_{2} \in S_{2}/R_{g}}) =m_{\Sigma} . \vec{a(G \in \Sigma \in /R_{g}) }

On réécrit le second membre :

Bilan des actions mécaniques extérieures exercées sur S_{1}

  • \vec{F}_{ext \rightarrow S_{1}}
  • \vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}}

Bilan des actions mécaniques extérieures exercées sur S_{2}

  • \vec{F}_{ext \rightarrow S_{2}}
  • \vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}}


 \sum \vec{F_{ext \rightarrow S_{1}}}
+ \sum \vec{F_{ext \rightarrow S_{2}}}= \vec{F}_{ext \rightarrow S_{1}} + \cancel{\vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}}} +\vec{F}_{ext \rightarrow S_{2}} + \cancel{\vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}}}

Si on fait la somme des efforts extérieurs à S_{1} et des efforts extérieurs à S_{2} les inter efforts disparaissent (d’après la troisième loi de Newton \vec{F}_{S_{1} \rightarrow S_{2}} = -\vec{F}_{S_{2} \rightarrow S_{1}}).

Finalement pour un système \sigma=S_{1} \bigcup S_{2} de centre d’inertie G on peut écrire le théorème de la résultante dynamique
m_{\Sigma} . \vec{a(G \in \Sigma \in /R_{g}) } = \sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}}

3.2- Théorème du moment dynamique

On applique le théorème du moment dynamique au solide S_{1} et au solide S_{2}.On a :


 \vec{\delta(A, S_{1} / R_{g}})= \sum \vec{M_{ext \rightarrow S_{1}}}


\vec{\delta(A, S_{2} / R_{g}})= \sum \vec{M_{ext \rightarrow S_{2}}}

On fait la somme de ces deux équations.\

On réécrit le premier membre :\vec{\delta(A, S_{1} / R_{g}}) + \vec{\delta(A, S_{2} / R_{g}})= \vec{\delta(A, \Sigma / R_{g}})

On réécrit le second membre :

Bilan des moments des forces extérieures exercées sur S_{1}

  • \vec{M}_{ext \rightarrow S_{1}}
  • \vec{M}_{S_{2} \rightarrow S_{1}}

Bilan des moments des forces extérieures mécaniques extérieures exercées sur S_{2}

  • \vec{M}_{ext \rightarrow S_{2}}
  • \vec{M}_{S_{1} \rightarrow S_{2}}


 \sum \vec{M_{A,ext \rightarrow S_{1}}}
+ \sum \vec{M_{A,ext \rightarrow S_{2}}}= \vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{1}} + \cancel{\vec{M}_{A,S_{2} \rightarrow S_{1}}} +\vec{M}_{A,ext \rightarrow S_{2}} + \cancel{\vec{M}_{A,S_{1} \rightarrow S_{2}}}

Si on fait la somme des moments exprimé en A des forces extérieures à S_{1} et des efforts extérieurs à S_{2} les moments des inter efforts disparaissent (d’après la troisième loi de Newton \vec{M}_{A,S_{1} \rightarrow S_{2}} = -\vec{M}_{A,S_{2} \rightarrow S_{1}}).

Finalement pour un système \sigma=S_{1} \bigcup S_{2} de centre d’inertie G on peut écrire le théorème du moment dynamique :

\vec{\delta(G \in \Sigma \in /R_{g}) } = \sum \vec{M_{ext \rightarrow \Sigma}}

3.3- Sous forme torsorielle


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in \Sigma /R_{g})} \\
\vec{\delta(A\in \Sigma/R_{g})}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

++++

 4- PFD pour un ensemble de solides \Sigma =\bigcup S_{i}

On a exactement le même résultat que pour deux solides, la démonstration est rigoureusement identique mais les notations deviennent pénibles.

4.1- Théorème de la résultante dynamique

m_{\Sigma} . \vec{a(G \in \Sigma \in /R_{g}) } = \sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}}

4.2- Théorème du moment dynamique

 \vec{\delta(G \in \Sigma \in /R_{g}) } = \sum \vec{M_{ext \rightarrow \Sigma}}

4.3- Sous forme torsorielle


 \left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in \Sigma /R_{g})} \\
\vec{\delta(A\in \Sigma/R_{g})}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

4.4- Remarque très importante

Lorsqu’on applique le PFD à un système \Sigma les inter efforts ne jouent pas. Dans le chapitre énergie puissance qui suit, les inter efforts vont apporter une contribution par le biais de la puissance des inter efforts P_{i}.
Pour nous résumer :

PFD Théorème de l’énergie cinétique
Les inter-efforts n’interviennent pas ! La puissance des inter efforts intervient !

++++

 5- Bilan

5.1- Torseur dynamique

5.1.1- Définition

Le torseur dynamique d’un solide S exprimé au point A dans son mouvement par rapport à un référentiel R exprimé dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) est :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\frac{d}{dt}\vec{\sigma(A\in S/R)}]_{R} + m \vec{V(A\in S/R)} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

5.1.2- Changement de point

\vec{\delta(B\in S/R)} =\vec{\delta(A\in S/R)}+m \vec{a(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

5.1.3- Cas particuliers
  • Moment dynamique en A point fixe par rapport à R
    \vec{\delta(A\in S/R)} =[\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}]_{R}


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\ [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R} 
\end{array}
\right\}_{A}

  • Moment dynamique exprimé au centre de masse G
    \vec{\delta(G\in S/R)} =[\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}]_{R}


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\vec{\delta(G\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{G}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S/R)} \\
\ [\frac{d}{dt}\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}]_{R} 
\end{array}
\right\}_{G}

5.2- PFD Pour un solide S

5.2.1- Théorème de la résultante dynamique

 m . \vec{a(G \in S / R_{g}})= \sum \vec{F_{ext \rightarrow S}}

5.2.2- Théorème du moment dynamique

 \vec{\delta(A, S \in /R_{g}) } = \sum \vec{M_{A,ext \rightarrow \Sigma}}

5.2.3- Sous forme torsorielle

\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in S /R_{g})} \\
\vec{\delta(A\in S /R_{g})}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \S}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \S})}}
\end{array}
\right\}_{A}

5.3- PFD pour plusieurs solides \Sigma = \bigcup S_{i}

5.3.1- Théorème de la résultante dynamique

 m . \vec{a(G \in \Sigma / R_{g}})= \sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}}

5.3.2- Théorème du moment dynamique

 \vec{\delta(A, \Sigma \in /R_{g}) } = \sum \vec{M_{A,ext \rightarrow \Sigma}}

5.3.3- Sous forme torsorielle

\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{a(G\in \Sigma /R_{g})} \\
\vec{\delta(A\in \Sigma/R_{g})}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
\sum \vec{F_{ext \rightarrow \Sigma}} \\
\ \sum \vec{M_{A (F_{ext \rightarrow \Sigma})}}
\end{array}
\right\}_{A}

Discussion sur cet article

Une question, une réaction sur ce sujet?

modération a priori

Ce forum est modéré a priori : votre contribution n’apparaîtra qu’après avoir été validée par un administrateur du site.

Qui êtes-vous ?
Votre message

Pour créer des paragraphes, laissez simplement des lignes vides.