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Cours, exercices et corrections en SI

Cinétique

Cours 13 septembre 2013, par Hadrien Bainier

La cinétique rajoute à la cinématique la notion de masse. Sont abordés les notions de centre de gravité, d’inertie et est introduit le torseur cinétique.

 1- Introduction

En terminale on a vu le théorème du moment dynamique autour d’un axe fixe passant par O et dirigé par le vecteur \vec{z} :
 J_{(0,\vec{z})} \ddot{\theta}= M_{Oz}
avec :

  • J moment d’inertie du solide suivant au point O suivant le vecteur \vec{z}.
  • \ddot{\theta} dérivée seconde de \theta
  • M la somme des moments au point O en projection sur le vecteur \vec{z}

Dans le présent chapitre on va s’intéresser au terme J à comprendre sa construction et son calcul. Dans le prochain chapitre on généralisera la précédente équation à n’importe quel mouvement.

++++

 2- Masse d’un solide

2.1- Distribution volumique

On considère un solide S de masse volumique \rho qui occupe un volume V. La masse totale m du solide S s’obtient en intégrant dm=\rho dV
 m =  \int_{V} dm =\int_{V} \rho dV

2.2- Distribution surfacique

On considère un solide S de masse surfacique \sigma qui occupe une surface S. La masse totale m du solide S s’obtient en intégrant dm=\sigma dS
m =\int_{S} dm=  \int_{S} \sigma dS

2.3- Distribution linéique

On considère un solide S de masse linéique \lambda qui occupe l. La masse totale m du solide S s’obtient en intégrant dm=\lambda dl
 m = \int_{l} dm = \int_{l} \lambda dl

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 3- Centre d’inertie (centre de masse)

3.1- Définition

Le centre d’inertie G d’un solide S de masse m est le point qui vérifie :

 m \vec{OG} = \int_{V} \vec{OM}dm
Le centre d’inertie d’un solide S est le barycentre des points M du domaine pondérés par leur masse dm.

Si on place maintenant l’origine en G on a :
m \vec{GG}=\vec{0} = \int_{V} \vec{GM}dm
"Le centre d’inertie G est le point le plus au milieu de la matière".

3.2- Coordonnées de G

Pour obtenir les coordonnées de G on projette le vecteur \vec{OG} sur les vecteurs de la base ( \vec{x} , \vec{y} ,\vec{z}).
 \vec{OG} \vec{x} = \frac{1}{m} \int_{V} \vec{OM} dm . \vec{x} \leftrightarrow  x_{G} = \frac{1}{m} \int_{V} x dm
 \vec{OG} \vec{y} = \frac{1}{m} \int_{V} \vec{OM} dm . \vec{y} \leftrightarrow  y_{G} = \frac{1}{m} \int_{V} y dm
 \vec{OG} \vec{z} = \frac{1}{m} \int_{V} \vec{OM} dm . \vec{z} \leftrightarrow  z_{G} =\frac{1}{m} \int_{V} z dm

3.3- Propriété

Soit un solide S de masse totale m constitué de n solides de masse m_{i} et de centre d’inertie G_{i}. Alors on a :
 m \vec{OG} = (\sum _{i=1}^{n} m_{i}) \vec{OG} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{OG_{i}}

3.4- Théorèmes de Guldin

Soit S un solide homogène de masse m qui possède un axe de symétrie.

3.4.1- Aire de la surface de révolution

Si on connaît la position du centre d’inertie de la courbe on peut calculer facilement via le théorème de Guldin
la surface du solide engendré par rotation de la courbe autour de l’axe de révolution.

On a la formule :
 S= 2\pi L y_{G}

Soit L une courbe dans le plan (O,\vec{y},\vec{z}) on peut définir artificiellement une masse linéique \lambda et dm= \lambda dl.
Le centre d’inertie G de la courbe vérifie :
 m\vec{OG}= \int_{L} \vec{OM}dm=\int_{L} \lambda dl
en projetant sur la direction \vec{y} on a :
 my_{G}= \lambda\int_{L} y dl

L’aire de la surface de révolution d’axe (O,\vec{z} et de génératrice L :
 S = \int dS =\int y d\theta dl = 2 \pi \int_{L} y dl
Finalement :
 S= 2\pi L y_{G}

3.4.2- Aire du volume de révolution

Si on connaît la position du centre d’inertie de la courbe on peut calculer facilement via le théorème de Guldin
le volume du solide engendré par rotation de la courbe autour de l’axe de révolution

On a la formule :
V= 2 \pi S y_{G}

Soit (S) une surface dans le plan (O,\vec{y},\vec{z}) on peut définir artificiellement une masse surfacique \sigma.Le centre d’inertie G de la surface vérifie :
 m\vec{OG}= \int_{S} \vec{OM}dm=\int_{S} \sigma dS
en projetant sur la direction \vec{y} on a :
 m y_{G}= \sigma \int_{S} y dS

Le volume de la surface de révolution d’axe (O,\vec{z} et de génératrice S :
V= \int_{S} y d\theta dS = 2 \pi \int y dS= 2 \pi S y_{G}

Finalement :
V= 2 \pi S y_{G}

++++

 4- Inertie

4.1- Faits expérimentaux

Plus la masse est éloignée de l’axe plus il est difficile de la mettre en mouvement ou de la ralentir.

4.2- Analogie

On peut considérer l’analogie entre le théorème de la résultante dynamique :
 m \ddot{x} =  {F}_{x}
et le théorème du moment dynamique :
 J_{(0,\vec{z})} \ddot{\theta}= M_{Oz}
on voit que la masse m joue le même rôle que l’inertie J.

4.3- Inertie par rapport à un point

4.3.1- Définition

Soit S un solide de masse m on définit le moment d’inertie par rapport au point A par :
I_{A}(S) = \int_{S} \vec{AM}^{2} dm

4.4- Inertie par rapport à un axe

4.5- Définition

Soit S un solide de masse m, d(M) la distance de M à l’axe A.\
On définit le moment d’inertie par rapport à l’axe (A,\vec{\delta)} par :
I_{A}(S) = \int_{S} d_{(M)}^{2} dm=\int_{S} (\vec{AM}\wedge \vec{\delta})^{2} dm

4.6- Rayon de giration

On définit le rayon de giration d’un solide S par rapport à l’axe (A,\vec{\delta}) par :
 I(A,\vec{\delta}) = m R^{2}

4.7- Théorème de Huygens

On essaie ici de relier le moment d’inertie par rapport à l’axe (G,\vec{\delta}) au moment d’inertie par rapport à l’axe (A,\vec{\delta}).

On a la formule :
I(A,\vec{\delta}) = I(G,\vec{\delta}) + m d^{2}
avec d la distance entre les axes (A,\vec{\delta}) et (G,\vec{\delta})
Soit un solide S de masse M de moment d’inertie

++++

 5- Matrice d’inertie

5.1- Point de départ

Soit \vec{u} un vecteur qui ne dépend pas de M

On s’intéresse à la quantité :
\underline{\underline{I}}(O,S)\times \vec{u} = \int_{S} \vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM}) dm

Soit R(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z}) un repère,  \vec{OM} :
\pmatrix{
x \cr y \cr z
} et \vec{u} : \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma
}

 \vec{OM} \wedge \vec{u} = \pmatrix{
x\cr y\cr z
} \wedge \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma
} = \pmatrix{
y \gamma - z\beta \cr \alpha z - x \gamma \cr x \beta - \alpha y }=\pmatrix{
0 & -z & y\cr z &0&x \cr -y & x&0
} \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma
}

 \vec{OM}\wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})  =\pmatrix{
0 & -z & y\cr z &0&x \cr -y & x&0
} \times (-1) \times \pmatrix{
0 & -z & y\cr z &0&x \cr -y & x&0
} \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma
}
 \pmatrix{
y^{2}+z^{2} & -xy & y\cr -xy &x^{2}+z^{2}&-yz \cr -xz &-yz &x^{2}+y^{2}
} \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma \end{pmatrix}

A l’opérateur \vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM}) on peut associer le produit matrice vecteur :
 \vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM})=\pmatrix{
y^{2}+z^{2} & -xy & y\cr -xy &x^{2}+z^{2}&-yz \cr -xz &-yz &x^{2}+y^{2}
 } \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma }

En intégrant sur le solide S on obtient :
 \int_{S}\vec{OM} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{OM}) =\pmatrix{
\int_{S}y^{2}+z^{2} & -\int_{S}xy & -\int_{S}xz\cr -\int_{S}xy &\int_{S}x^{2}+z^{2}&-\int_{S}yz \cr -\int_{S}xz &-\int_{S}yz &\int_{S}x^{2}+y^{2}
} \pmatrix{
\alpha \cr \beta \cr \gamma }

5.2- Définition

La matrice d’inertie du solide S exprimée au point O dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) est définie par :

\underline{\underline{I}}(O,S)=\pmatrix{
\int_{S} (y^{2} + z^{2})dm & -\int_{S} xy dm & -\int_{S} xz dm \cr
-\int_{S} xy dm & \int_{S} (x^{2} + z^{2})dm & -\int_{S} yz dm \cr
-\int_{S} xz dm & -\int_{S} yz dm & \int_{S} (x^{2} + y^{2})dm
}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}

Pour alléger les écritures on écrira :
 \underline{\underline{I}}(O,S)=\pmatrix{
\int_{S} (y^{2} + z^{2})dm & -\int_{S} xy dm & -\int_{S} xz dm \cr
-\int_{S} xy dm & \int_{S} (x^{2} + z^{2})dm & -\int_{S} yz dm \cr
-\int_{S} xz dm & -\int_{S} yz dm & \int_{S} (x^{2} + y^{2})dm
}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} = \pmatrix{
A & -F & -E \cr -F & B & -D \cr -E & -D & C
}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}

La matrice  \underline{\underline{I}} est symétrique réelle ses termes sont :

  • A moment d’inertie de S par rapport à l’axe (O,\vec{x})
  • B moment d’inertie de S par rapport à l’axe (O,\vec{y})
  • C moment d’inertie de S par rapport à l’axe (O,\vec{z})
  • D produit d’inertie de S par rapport aux axes (O,\vec{y}) et (O,\vec{z})
  • Eproduit d’inertie de S par rapport aux axes (O,\vec{x}) et (O,\vec{z})
  • Fproduit d’inertie de S par rapport aux axes (O,\vec{x}) et (O,\vec{y})
5.2.1- Remarque

Le terme C= \int_{S} (x^{2} + y^{2})dm est le terme J(O,\vec{z}) vu dans l’introduction.

5.2.2- Théorème de Huygens

Soit S un solide de masse m et \vec{OG}=\pmatrix{
x\cr y\cr z }

On essaie ici de relier la matrice d’inertie du solide S par rapport à exprimée en G \underline{\underline{I}}(G,S/R) à la matrice d’inertie du solide S en A \underline{\underline{I}}(A,S/R).

On a la formule :
\underline{\underline{I}}(A,S/R) = \underline{\underline{I}}(G,S/R) + m \pmatrix{
y^{2}+z^{2} & -xy & y\cr -xy &x^{2}+z^{2}&-yz \cr -xz &-yz &x^{2}+y^{2}
 }

++++

 6- Torseur cinétique

6.1- Principe de conservation de la masse

6.1.1- Définition

Un solide est dit à masse conservative si sa masse est indépendante :

  • du référentiel dans lequel on observe le mouvement de S
  • de la date t à laquelle on observe le mouvement

6.2- Théorème

Soit S un solide en mouvement par rapport à R. Soit \vec{\Phi}(M,t) un champ de vecteur défini pour tout t et en tout point M et dérivable par rapport à t alors :

 [\frac{d}{dt} \int_{S} \vec{\Phi}(M,t) dm]_{R} =  \int_{S} [\frac{d}{dt}\vec{\Phi}(M,t) ]_{R}dm

Pour les démonstrations on aura souvent besoin d’intervertir les symboles \frac{d}{dt} et \int. Par exemple :

\int_{S} [\frac{d}{dt} \vec{OM}]_{R}dm = [\frac{d}{dt} \int_{S} \vec{OM}dm]_{R}

{##Point de départ

On s’intéresse au torseur défini par les quantités suivantes :

\left\{
\begin{array}{r c l}
\int_{S} \vec{V(M\in S/R)}dm \\
\int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm
\end{array}
\right\}_{A}

Or on peut réécrire la résultante cinétique :
\int_{S} \vec{V(M\in S/R)}dm = \int_{S} [\frac{d}{dt} \vec{OM}]_{R}dm = [\frac{d}{dt} \int_{S} \vec{OM}dm]_{R}
par application de la conservation de la masse
=[\frac{d}{dt} m \vec{OG}]_{R}=m \vec{V(G\in S/R)}

De plus on peut réécrire le moment cinétique :

\vec{\sigma(A\in S/R)} = \int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm
d’après la définition de \vec{\sigma(A\in S/R)}
\vec{\sigma(A\in S/R)} = \int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{V(A\in S/R)} + \vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm
d’après la formule de changement de point pour les vitesses \vec{V(M\in S/R)}=\vec{V(A\in S/R)} + \vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM})

 = \int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{V(A\in S/R)}  dm + \int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm

 = \int_{S} (\vec{AG}+\vec{GM}) \wedge \vec{V(A\in S/R)}  dm + \int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm
en utilisant la relation de Chasles
 = \int_{S} \vec{AG} \wedge \vec{V(A\in S/R)}  dm +\int_{S} \vec{GM} \wedge \vec{V(A\in S/R)}  dm + \int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm

 = m \vec{AG} \wedge \vec{V(A\in S/R)}  + \int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm
en sortant \vec{V(A\in S/R)} de l’intégrale, en remarquant que \int_{S} \vec{GM}dm=\vec{0} par définition.

 =   \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} +m \vec{AG} \wedge \vec{V(A\in S/R)}

par définition de l’opérateur d’inertie :\int_{S} \vec{AM} \wedge (\vec{\Omega(S/R)} \wedge \vec{AM}) dm = \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}

6.3- Définition

Le torseur cinétique d’un solide S exprimé au point A dans son mouvement par rapport à un référentiel R exprimé dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) est :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
 \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} +m \vec{AG} \wedge \vec{V(A\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

Attention à bien exprimer \underline{\underline{I}}(A,S) et \vec{\Omega(S/R)_{base}} dans la même base !
De plus la matrice d’inertie est toujours exprimée dans le repère lié au solide il faut donc écrire le taux de rotation \vec{\Omega(S/R)} dans cette base.

6.4- Changement de point

On cherche à exprimer le moment cinétique en B du solide S par rapport à R \vec{\sigma(B\in S/R)} en fonction du moment cinétique en A du solide S par rapport à R :\vec{\sigma(A\in S/R)}

6.4.1- Formule

On a la formule :
\vec{\sigma(B\in S/R)} =\vec{\sigma(A\in S/R)}+m \vec{V(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

6.4.2- Démonstration

\vec{\sigma(B\in S/R)}=\int_{S} \vec{BM} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm = \int_{S} (\vec{BA} +\vec{AM}) \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm

par la relation de Chasles pour faire intervenir \vec{\sigma(A\in S/R)}

=\int_{S} \vec{BA}  \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm+\int_{S} \vec{AM} \wedge \vec{V(M\in S/R)}dm
l’intégrale de la somme est la somme des intégrales

=\vec{\sigma(A\in S/R)}+ \vec{BA}  \wedge \int_{S}  \vec{V(M\in S/R)}dm

par définition du moment cinétique \vec{\sigma(A\in S/R)}

=\vec{\sigma(A\in S/R)}+ m\vec{V(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

car \int_{S}  \vec{V(M\in S/R)}dm= m\vec{V(G\in S/R)} (voir résultante cinétique)

6.5- Cas particuliers

6.5.1- Moment cinétique en un point fixe $A$

Si le point A du solide S est fixe par rapport au référentiel R alors :

\vec{\sigma(A\in S/R)} =\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}
et donc :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
 \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} 
\end{array}
\right\}_{A}

6.5.2- Démonstration

 \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} +m \vec{AG} \wedge \vec{V(A\in S/R)}
par définition de \vec{\sigma(A\in S/R)}
\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}

car \vec{V(A\in S/R)}=\vec{0}

6.5.3- Moment cinétique exprimé au centre de masse G

\vec{\sigma(G\in S/R)} =\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}

6.5.4- Démonstration

 \underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} +m \vec{GG} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
par définition de \vec{\sigma(G\in S/R)}
\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base}

car \vec{GG}=\vec{0}

et donc :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(G\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{G}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
 \underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} 
\end{array}
\right\}_{G}

6.6- Torseur cinétique d’un ensemble de solides

Soit un solide S de masse m composé de n solides S_{i} de masse m_{i}
alors :


\left\{
\begin{array}{r c l}
C(S=(\sum_{i} S_{i}) /R)
\end{array}
\right\}_{A}=\sum_{i}
\left\{
\begin{array}{r c l}
C(S_{i} /R)
\end{array}
\right\}_{A}
avec
 m \vec{V(G\in S/R)} = \sum_{i} m_{i} \vec{V(G_{i}\in S_{i}/R)}
et
\vec{\sigma(G\in S/R)} = \sum_{i} \vec{\sigma(G_{i}\in S_{i}/R)}

++++

 7- Bilan

7.1- Calcul de la masse :

  • distribution volumique \rho : m=\int_{S} dm = \int_{V} \rho dV
  • distribution surfacique \sigma : m=\int_{S} dm = \int_{V} \sigma dS
  • distribution linéique \lambda : m=\int_{S} dm = \int_{l} \lambda dl

7.2- Matrice d’inertie

7.3- Torseur cinétique

7.3.1- Définition

Le torseur cinétique d’un solide S exprimé au point A dans son mouvement par rapport à un référentiel R exprimé dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) est :


\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}} + m \vec{AG} \wedge \vec{V(G\in S/R)}
\end{array}
\right\}_{A}

7.3.2- Changement de point

\vec{\sigma(B\in S/R)} =\vec{\sigma(A\in S/R)}+m \vec{V(G\in S/R)} \wedge \vec{AB}

7.4- Cas particuliers

  • Moment cinétique en A point fixe par rapport à R
    \vec{\sigma(A\in S/R)} =\underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}
    
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(A\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{A}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
 \underline{\underline{I}}(A,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} 
\end{array}
\right\}_{A}
  • Moment cinétique exprimé au centre de masse G
    \vec{\sigma(G\in S/R)} =\underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega(S/R)_{base}}
    
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
\vec{\sigma(G\in S/R)}\\
\end{array}
\right\}_{G}=
\left\{
\begin{array}{r c l}
m \vec{V(G\in S/R)} \\
 \underline{\underline{I}}(G,S)_{base} \vec{\Omega}(S/R)_{base} 
\end{array}
\right\}_{G}

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