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Cours, exercices et corrections en SI

Cinématique du solide

Cours 13 septembre 2013, par Hadrien Bainier

La cinématique est l’étude du mouvement. Ce cours part des notions vues en terminale pour un point matériel et étend à un solide grâce à la notion de torseur cinématique.

 1- Repère / Référentiel

1.1- Repère

Un repère permet de décrire la position de n’importe quel point de l’espace.Pour décrire cette position on peut utiliser des longueurs ou des angles.

1.1.1- Définition

Un repère est composé :

  • d’une origine (souvent notée O)
  • d’une base de vecteurs (ex : (\vec{x},\vec{y},\vec{z}))

1.2- Repères classiques

1.2.1- Repère cartésien

Dans un repère cartésien on repère un point M par 3 longueurs, les coordonnées cartésiennes (x,y,z) sont telles que :


\overrightarrow{OM}= x \vec{i} + y \vec{j} +z\vec{k}

1.2.2- Repère cylindrique

On ajoute un deuxième repère (\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{z}) mobile par rapport au repère carthésien. Dans un repère cylindrique on repère un point M par 2 longueurs et un angle, les coordonnées cylindriques (r,\theta,z) sont telles que :


\overrightarrow{OM}= r \vec{e}_{r}(\theta) + z\vec{e}_{z}

1.2.3- Repère sphérique

Dans un repère sphérique on repère un point M par une longueur et deux angles, les coordonnées sphériques (r,\theta,\phi) sont telles que :


\overrightarrow{OM}= r \vec{e}_{r}(\theta , \phi)

1.2.4- Remarque
  • On a besoin de 3 informations pour repérer le point M.
  • Il ne faut pas confondre le vecteur \vec{e}_{r} du repère cylindrique et le vecteur \vec{e}_{r} du repère sphérique

1.3- Référentiel

C’est le solide par rapport auquel on observe le mouvement (ex : si on choisit le référentiel terrestre alors on observe le mouvement à partir de la Terre). En pratique : c’est le solide sur lequel on accroche un ou plusieurs repères pour décrire le mouvement.

Un référentiel est composé :

  • d’un repère d’espace : c’est le solide par rapport auquel on observe le mouvement (ex : la Terre) auquel on accroche un repère (ex :(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z}))
  • d’un repère de temps : une horloge pour mesurer le temps
1.3.1- Remarque

En sciences de l’ingénieur, on aura une seule mesure du temps et un epère par solide. Dans ce cas là on confondra par abus de langage UN repère et LE référentiel.

1.4- Trajectoire

On appelle trajectoire du point M dans un référentiel R la courbe formée par l’ensemble des positions du point M au cours du temps.

1.4.1- Remarque

La trajcetoire dépend du référentiel. La figure ci-dessous représente la trajectoire (en rouge) d’un projectile en chute libre lâché depuis un avion que l’on observe depuis la terre et depuis l’avion. On obtient deux trajectoires différentes.

1.4.2- En pratique

Pour obtenir l’équation de la trajectoire on peut souvent substituer le temps dans l’équation des coordonnés.

1.4.3- Exemple

On reprend l’exemple du projectile lâché avec une vitesse horizontale v_{0} (ci-dessus à gauche) que l’on observe depuis la Terre. On admettra que les équations du problème sont :

\left\{
\begin{array}{rl}
  x&= v_{0}t \\
y&= y_{0}- \frac{1}{2} m g t^{2}
\end{array}
\right.

Pour obtenir l’équation de la trajectoire on exprime t par t=x/v_{0} et on injecte dans la seconde équation :

y= y_{0}-\frac{1}{2} mg (\frac{x}{v_{0}})^{2})

On a fait disparaître t de l’équation.

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 2- Vecteurs position, vecteur vitesse, vecteur accélération

2.1- Vecteur position

On définit le vecteur position d’un point M par rapport à un référentiel R d’origine O par :

vecteur position : \overrightarrow{OM}

On définit la vitesse d’un point M par rapport au référentiel R par :

\overrightarrow{V(M/R)} = [\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}]_{R}

On définit la vitesse d’un point M par rapport au référentiel R par la norme du vecteur vitesse : \parallel \overrightarrow{V(M /R)} \parallel

La vitesse s’exprime en m.s^{-1}

2.1.1- Vecteur vitesse d’un point M appartenant à un solide S :

Lorsque le point auquel on calcule le vecteur vitesse appartient physiquement à un solide S on fait apparaître l’appartenance au solide dans l’écriture du vecteur vitesse en notant :

\overrightarrow{V(M \in S/R)}

Pour comprendre de quelle vitesse il s’agit il faut lire ce vecteur \overrightarrow{V(M \in S/R)} de droite à gauche et l’interpréter comme suit :

  • J’observe le mouvement depuis le référentiel R
  • "de quel solide ?" \rightarrow du solide S
  • "quel point de ce solide ?" \rightarrow le point M

Lorsque le point appartient physiquement à un solide on peut appliquer la formule de changement de point pour la vitesse.

2.1.2- Remarque

On peut exprimer le vecteur vitesse \overrightarrow{V(M /R)} dans plusieurs repères. On choisit alors le plus pratique pour projeter le vecteur. Exemple : mouvement de rotation autour d’un axe fixe, on peut écrire la vitesse dans un repère cartésien, et dans un repère cylindrique. Ici il est plus simple d’écrire le vecteur vitesse dans le repère 1 :(\vec{x}_{1},\vec{y}_{1},\vec{z}_{1}) que dans le repère 0 :(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0},\vec{z}_{0}).

\overrightarrow{V(M \in S/R)} = R \dot{\theta} \vec{y}_{1} = -R \dot{\theta} \sin(\theta) \vec{x}_{0} + R \dot{\theta} cos(\theta ) \vec{y}_{0}

2.2- Vecteur accélération

On définit le vecteur accélération d’un point M par rapport au référentiel R par :


\overrightarrow{a(M /R)}=[\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(M /R)}]_{R} = [\frac{d^{2}}{dt^{2}} \overrightarrow{OM}]_{R}

On définit l’accélération d’un point M par rapport au référentiel R par la norme du vecteur accélération : \parallel \overrightarrow{a(M /R)} \parallel

L’accélération s’exprime en m.s^{-2}

2.2.1- Vecteur accélération d’un point M appartenant à un solide S

Lorsque le point auquel on calcule l’accélération appartient physiquement à un solide S on fait apparaître l’appartenance au solide dans l’écriture du vecteur accélération en notant :

\overrightarrow{a(M \in S /R)}

Lorsque le point appartient physiquement à un solide alors on peut appliquer la formule de changement de point pour l’accélération.
Pour comprendre de quelle accélération il s’agit il faut lire ce vecteur \overrightarrow{a(M \in S /R)} de droite à gauche et l’interpréter comme suit :

  • J’observe le mouvement depuis le référentiel R
  • "de quel solide ?" \rightarrow du solide S
  • "quel point de ce solide ?" \rightarow le point M
2.2.2- Pourquoi est-il important de préciser le référentiel ?

\rightarrow Parce que la vitesse est différente suivant le référentiel que je choisis.

Pour visualiser l’importance du référentiel considérons un manège (en bleu) sur lequel se trouve un cheval de bois (en rouge). Le manège a un mouvement de rotation par rapport au sol (en noir). Le cheval de bois a un mouvement de translation par rapport au manège.

Ainsi :

  • la vitesse du cheval de bois par rapport au manège est seulement dûe à la translation verticale du cheval.
  • la vitesse du cheval de bois par rapport au sol est dûe à la fois à la translation verticale du cheval par rapport au manège mais aussi au mouvement de rotation du manège.
    La vitesse du chevalde bois dépend du référentiel que je choisis pour observer le mouvement.

2.3- Vecteur taux de rotation

Le vecteur taux de rotation est un vecteur qui mesure le changement d’orientation entre deux bases. Le vecteur taux de rotation \overrightarrow{\Omega_{1/0}} est le vecteur qui représente la vitesse de rotation entre deux bases notées 1 et 0.
Le vecteur rotation est normal au plan de la rotation, c’est le vecteur directeur de l’axe de la rotation.

2.3.1- Exemple : rotation autour d’un axe fixe

2.3.2- Propriété du vecteur rotation :

Soient 3 bases notées 0 1 et 2 on a :

 \overrightarrow{\Omega}_{(2/0)} = \overrightarrow{\Omega}_{(2/1)} + \overrightarrow{\Omega}_{(1/0)}

En particulier on a :

 \overrightarrow{\Omega}_{(1/0)} = -\overrightarrow{\Omega}_{(0/1)}

2.4- Changement de base de dérivation

Soient B_{0} :(O_{0},\vec{x}_{0},\vec{y}_{0},\vec{z}_{0}) B_{1} :(O_{1},\vec{x}_{1},\vec{y}_{1},\vec{z}_{1}) deux bases et \vec{\Omega}_{(1/0)} le taux de rotation de 1 par rapport à 0.
Alors on a :


[\frac{d}{dt} \vec{u}]_{B_{0}} = [\frac{d}{dt} \vec{u}]_{B_{1}} + \overrightarrow{\Omega}_{(1/0)} \wedge \vec{u}

Lorsqu’on dérive un vecteur on doit se poser la question : "Est ce que le vecteur que je dérive n’est pas constant dans une autre base ?" Ainsi on sera très souvent amené à changer de base de dérivation pour simplifier les calculs.

2.4.1- Remarque

Pour éviter les ennuis on ne dérive que les vecteurs unitaires de la base 1, en effet à ce moment [\frac{d}{dt} \vec{u_{1}}]_{B_{1}}=\vec{0} et on a alors une expression très simple de la dérivée.

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 3- Relation entre les vitesses des points d’un Solide

3.1- Changement de point pour le vecteur vitesse d’un Solide

Soient A et B deux points d’un solide S.
On cherche à exprimer la vitesse du point B du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R en fonction de la vitesse du point A du même solide S dans son mouvement par rapport au même référentiel R.
On a la formule :


\overrightarrow{V(B\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R)} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

Autrement dit si on connaît à un instant t :

  • le taux de rotation : \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}
  • la vitesse d’un point A du solide S
    alors on peut calculer, à cet instant, la vitesse de n’importe quel point du solide par rapport au référentiel R.

3.2- Démonstration

 \overrightarrow{V(B\in S/R)} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OB}]_{R}

par définition du vecteur vitesse

 = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OA}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R}

car la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées

= \overrightarrow{V(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R}

par définition du vecteur vitesse

= \overrightarrow{V(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

en dérivant \overrightarrow{AB} non plus par rapport à la base R mais à la base associée à S.

= \overrightarrow{V(A\in S/R)}+ \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

en remarquant que   [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} =\vec{0} car \overrightarrow{AB} est fixe dans le référentiel lié à S

3.3- Changement de point pour le vecteur accélération d’un Solide

Soient A et B deux points qui appartiennent à un solide S.
On cherche à exprimer l’accélération du point B du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R en fonction de l’accélération du point A du même solide S dans son mouvement par rapport au même référentiel R.
On a la formule :


\overrightarrow{a(B\in S/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R)} +[\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB})

Autrement dit si on connaît à un instant t :

  • le taux de rotation :
    \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} et sa dérivée [\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}]_{R}
  • l’accélération d’un point A du solide S
    alors on peut calculer, à cet instant t, l’accélération de tous les points du solide par rapport au référentiel R.

3.4- Démonstration

 \overrightarrow{V(B\in S/R)} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OB}]_{R}

par définition du vecteur vitesse

 = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OA}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R}

car la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées

= \overrightarrow{V(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R}

par définition du vecteur vitesse

= \overrightarrow{V(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

en dérivant \vec{AB} non plus par rapport à la base R mais à la base associée à S.

= \overrightarrow{V(A\in S/R)}+ \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

en remarquant que   [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} =\vec{0} car \overrightarrow{AB} est fixe dans le référentiel lié à S

3.5- Changement de point pour le vecteur accélération d’un Solide

Soient A et B deux points qui appartiennent à un solide S.
On cherche à exprimer l’accélération du point B du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R en fonction de l’accélération du point A du même solide S dans son mouvement par rapport au même référentiel R.
On a la formule :


\overrightarrow{a(B\in S/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R)} +[\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB})

Autrement dit si on connaît à un instant t :

  • le taux de rotation :
    \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} et sa dérivée [\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}]_{R}
  • l’accélération d’un point A du solide S
    alors on peut calculer, à cet instant t, l’accélération de tous les points du solide par rapport au référentiel R.
3.5.1- Démonstration
 \overrightarrow{a(B\in S/R)} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(B\in S/R)}]_{R}

par définition du vecteur accélération

 = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A\in S/R)}]_{R} + [\frac{d}{dt} (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB})]_{R}

en utilisant la formule de changement de point pour les vitesse \vec{V(B\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R)} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB} et en utilisant la propriété que : la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées

 = \overrightarrow{a(A\in S/R)} + \frac{d}{dt} [\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}]_{R}

par définition du vecteur accélération

 = \overrightarrow{a(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R}

en dérivant le produit vectoriel \vec{\Omega}_{(S/R)} \wedge \vec{AB}(un produit vectoriel se dérive comme un produit classique (uv)’=u’v+uv’ et (\vec{u}\wedge \vec{v})’=\vec{u}’\wedge \vec{v}+\vec{u}\wedge \vec{v}’).

 = \overrightarrow{a(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge ([\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB} )

en se servant de la propriété de changement de base de dérivation :[\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{R} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

= \overrightarrow{a(A\in S/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB} )

en remarquant que [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{S}=\vec{0} car \overrightarrow{AB} est fixe par rapport au référentiel S.

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 4- Point matériel, point physique,point géométrique

4.1- Point matériel

Un point matériel est un point du solide où il y a de la matière.

4.2- Point physique

Un point physique est un point qui est fixe dans un référentiel donné.

 Exemple

Ci-dessous on représente les vitesses des points matériels M_{1} \in S_{1} et M_{2} \in S_{2}. A l’instant t : M_{1} et M_{2} se superposent cependant leurs vitesses sont clairement différentes. Il est donc indispensable de préciser de quel point on parle. Le cas échéant à quel solide il appartient et le point de ce solide auquel je calcule la vitesse (si le point appartient à un solide). Par abus de notation on notera parfois \overrightarrow{V(M \in S_{1}/R)} ou \overrightarrow{V(M \in S_{2}/R)} pour
\overrightarrow{V(M_{1} \in S_{1}/R)} et \overrightarrow{V(M_{2} \in S_{2}/R)}.

5.1- Point géométrique

Un point géométrique est un point qui n’appartient pas forcément à un solide. Voyons sur l’exemple :

Le point géométrique M_{3} n’appartient à aucun solide.

5.1.1- Remarque

Sur ce schéma il est évident que la vitesse du point M_{2} qui appartient à la route par rapport au référentiel lié à la route est nul. Ce résultat nous sera très utile lorsqu’on écrira des vitesses de glissement.

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 6- Composition des mouvements

Lorsque le mouvement est complexe on peut introduire un référentiel intermédiaire R_{1} entre le référentiel lié au solide S et le référentiel R depuis lequel on cherche à décrire le mouvement. On décompose alors le mouvement de manière plus simple.

Reprennons l’exemple du manège : pour décrire le mouvement ducheval de bois (en rouge) par rapport au référentiel terrestre (en noir) on peut décomposer ke mouvement "complexe" en deux mouvements simples : la rotation du manège (en bleu) et la translation du cheval (en rouge).

Dans la partie qui suit on va voir comment "s’additionnent les mouvements" et ce que deviennent la vitesse et l’accélération lors d’un mouvement composé.

6.1- Changement de référentiel pour le vecteur vitesse

Soient R_{1} :(O_{1},\vec{x}_{1},\vec{y}_{1},\vec{z}_{1}) et R :(O_{0},\vec{x}_{0},\vec{y}_{0},\vec{z}_{0}) deux référentiels.
On cherche à exprimer la vitesse du point A du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R en fonction de la vitesse du même point A dans son mouvement par rapport au même référentiel R_{1}.

On a la formule :


\overrightarrow{V(A S/R)} = \overrightarrow{V(AS/R_{1})} +\overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)}
6.1.1- Remarque

En d’autres termes :
la vitesse du point A appartenant au solide S par rapport au référentiel R est égale à la somme de :

  • la vitesse du point A par rapport au référentiel R_{1}.\ \overrightarrow{V(A/R_{1})} est appelé le vecteur vitesse relative.
  • la vitesse du point A "comme s’il appartenait au solide S_{1}" par rapport au référentiel R. \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)} est appelé le vecteur vitesse d’entraînement.
6.1.2- Démonstration
\overrightarrow{V(A/R)} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OA}]_{R}

d’après la définition du vecteur vitesse

= [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R}

d’après la propriété : la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées

= [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R_{1}} + \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A}

en dérivant le vecteur \overrightarrow{O_{1}A} par rapport à la base 1 (changement de base de dérivation).

=  [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R_{1}}+ [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A}
= \overrightarrow{V(A/R_{1})} + \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)}

d’après la définition de la vitesse, et en utilisant la formule de changement de point pour les vitesses.

6.2- Changement de référentiel pour le vecteur accélération

Soient R_{1} :(O_{1},\vec{x}_{1},\vec{y}_{1},\vec{z}_{1}) et R :(O_{0},\vec{x}_{0},\vec{y}_{0},\vec{z}_{0}) deux référentiels.
On cherche à exprimer la vitesse du point A dans son mouvement par rapport au référentiel R en fonction de l’accélération du même point A dans son mouvement par rapport au même référentiel R_{1}.

On a la formule :


\overrightarrow{a(A /R)} = \overrightarrow{a(A/R_{1})} +\overrightarrow{a(A\in S_{1}/R)} + 2 \overrightarrow{\Omega}(R_{1}/R) \wedge \overrightarrow{V}(S/R_{1})
6.2.1- Remarque

En d’autres termes :
l’accélération du point A appartenant au solide S par rapport au référentiel R est égale à la somme de :

  • l’accélération du point A par rapport au référentiel R_{1} : \overrightarrow{a(A/R_{1})} est appelé le vecteur accélération relative.
  • l’accélération du point A "comme s’il appartenait au solide S_{1}" par rapport au référentiel R : \overrightarrow{a(A\in R_{1}/R)} est appelé le vecteur accélération d’entraînement.
  • 2 \overrightarrow{\Omega}(R_{1}/R) \wedge \overrightarrow{V}(S/R_{1}) qui est l’accélération de Coriolis
6.2.2- Attention

Il ne faut pas oublier l’accélération de Coriolis !
On ne doit jamais écrire de formule du style :
\overrightarrow{a(A/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R_{1})} +\overrightarrow{a(A\in R_{1}/R)}

6.2.3- Démonstration
\overrightarrow{a(A/R)} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A/R)}]_{R}

d’après la définition du vecteur vitesse

= [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)}]_{R}

d’après la formule de changement de référentiel des vitesses (\overrightarrow{V(A\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})} +\overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)}) et la propriété : la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées.(ne pas oublier d’indiquer /R dans la dérivation sinon c’est fichu)

= [\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A/R_{1})}]_{R_{1}} + \overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})} + \frac{d}{dt}[[\frac{d}{dt}  \overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} ]_{R}

On change de base de dérivation le vecteur \overrightarrow{V(A/R_{1})} pour faire apparaître \overrightarrow{a(A/R_{1})} et pour être sûr de calculer \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)} on passe par le champ des vecteurs vitesse  \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)} = \overrightarrow{V(O_{1}\in R_{1}/R)}++ \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} ]_{R}

\overrightarrow{a(A/R_{1})} + \overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})} + [\frac{d^{2}}{dt^{2}}\overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)}]_{R} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} +  
\overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R}

par définition de l’accélération. On dérive le produit vectoriel comme un produit classique : (uv)’=u’v+uv’ et (\vec{u}\wedge \vec{v})’=\vec{u}’\wedge \vec{v}+\vec{u}\wedge \vec{v}’).Ne pas oublier le /R dans la dérivation sinon c’est fichu.

\overrightarrow{a(A/R_{1})} + \overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})} + [\frac{d^{2}}{dt^{2}}\overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)}]_{R} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} +  
\overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge ( [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R_{1}} + \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{O_{1}A})

en dérivant le vecteur \vec{O_{1}A} par rapport à la base 1.

\overrightarrow{a(A/R_{1})} + 2 \overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{V(A\in S/R_{1})} + [\frac{d^{2}}{dt^{2}}\overrightarrow{OO_{1}}]_{R} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)}]_{R} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} +  
\overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge ( \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{O_{1}A})

en utilisant la définition de la vitesse [\frac{d}{dt} \overrightarrow{O_{1}A}]_{R_{1}}=\overrightarrow{V(A\in S/R_{1})}

\overrightarrow{a(A/R_{1})} + 2 \overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R} \wedge \overrightarrow{V(A/R_{1})} + \overrightarrow{a(A\in R_{1}/R)}

en utilisant la définition de l’accélération d’entraînement :(voir changement de point pour le vecteur accélération)

6.3- Vitesse d’entrainement, accélération d’entrainement

L’accélération d’entrainement n’est pas la dérivée de la vitesse d’entrainement. La vitesse d’entrainement \vec{a(A\in R_{1}/R)} est la vitesse du point A comme s’il appartenait au solide S_{1} observé depuis le référentiel R. En passant par la relation qui lie la vitesse des points du solide S_{1} on a :

 \overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)} = \overrightarrow{V(O_{1}\in R_{1}/R)}++ \overrightarrow{\Omega}_{(R_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} ]_{R}

De même l’accélération d’entrainement  \vec{a(A\in R_{1}/R)} est l’accélération du point A comme s’il appartenait au solide S_{1} observé depuis le référentiel R. En passant par la relation qui lie l’accélération des points du solide S_{1} on a :

\overrightarrow{a(A\in R_{1}/R)} = \overrightarrow{a(O_{1}\in S_{1}/R)} + [\frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega}_{(S_{1}/R)}] \wedge \overrightarrow{O_{1}A} +  \overrightarrow{\Omega}_{(S_{1}/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S_{1}/R)} \wedge \overrightarrow{O_{1}A} )

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 7- Bilan

7.1- Définition vecteur vitesse et vecteur accélération

  • vecteur vitesse d’un point A par rapport au référentiel R :
    
\overrightarrow{V(A/R)}= [\frac{d}{dt} \overrightarrow{OA}]_{R}
  • vecteur accélération d’un point A par rapport au référentiel R :
    \overrightarrow{a(A/R)}=[\frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A/R)}]_{R} = [\frac{d^{2}}{dt^{2}} \overrightarrow{OA}]_{R}

7.2- Changement de base de dérivation

Soient 2 bases B_{0} et B_{1}


[\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{B_{0}} = [\frac{d}{dt} \overrightarrow{AB}]_{B_{1}} + \overrightarrow{\Omega}_{(1/0)} \wedge \overrightarrow{AB}

7.3- Changement de point

  • On écrit le vecteur vitesse du point B d’un solide S par rapport au référentiel R en fonction de la vitesse du point A du même solide S par rapport au même référentiel R.
     \overrightarrow{V(B\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R)} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}
  • On écrit le vecteur accélération du point B d’un solide S par rapport au référentiel R à l’accélération du point A du même solide S par rapport au même référentiel R.
 \overrightarrow{a(B\in S/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R)} +[\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB})

7.4- Changement de référentiel

  • On écrit le vecteur vitesse du point A d’un solide S par rapport au référentiel R en fonction de la vitesse du même point A du même solide S par rapport à un référentiel intermédiaire R_{1}.
\overrightarrow{V(A/R)} = \overrightarrow{V(A/R_{1})} +\overrightarrow{V(A\in R_{1}/R)}
  • On écrit le vecteur accélération du point A par rapport au référentiel R en fonction de l’accélération du point A par rapport un référentiel intermédiaire R_{1}.
    \overrightarrow{a(A/R)} = \overrightarrow{a(A/R_{1})} +\overrightarrow{a(A\in R_{1}/R)} + 2 \overrightarrow{\Omega}(R_{1}/R) \wedge \overrightarrow{V}(S/R_{1})

++++

 8- Le torseur cinématique

Le torseur cinématique n’apporte rien de nouveau à la cinématique, c’est juste une mise en forme des résultats.

On s’intéresse au mouvement du solide S par rapport au référentiel R. On a vu que pour connaître la vitesse de tous les points de S (cf changement de point pour le vecteur vitesse) il suffisait de connaître :

  • le vecteur taux de rotation : \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}
  • le vecteur vitesse d’un point d’un point de S par exemple au point A : \overrightarrow{V(A\in S/R)}

En effet si on connaît ces quantités alors on peut déduire la vitesse de n’importe quel point B de ce même solide S par rapport au référentiel R avec la formule de changment de point :

 \overrightarrow{V(B\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R)} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB}

8.1- Définition du torseur cinématique

Le torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R écrit au point A se note :


\{ V(S/R) \}_{A} =
\left\{
\begin{array}{r c l}
\overrightarrow{\Omega_{(S/R)}}\\
 \overrightarrow{V(A\in S/R)} 
\end{array}
\right \}_{A}
8.1.1- Remarque

Ainsi on a deux manières de décrire le mouvement du solide S :

Sans torseur Avec torseur
vecteur taux de rotation : \overrightarrow{\Omega_{(S/R)}}
vecteur vitesse du point A : \overrightarrow{V(A\in S/R)}
\{ V(S/R) \}_{A} =
\left\{
\begin{array}{r c l}
\overrightarrow{\Omega_{(S/R)}}\\
 \overrightarrow{V(A\in S/R)} 
\end{array}
\right \}_{A}

Si on compare les deux écritures avec et sans torseur on s’aperçoit qu’elles sont rigoureusement équivalentes.

8.2- Écriture du torseur cinématique par coordonnées

Pour écrire le torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport à R écrit au point A on peut au lieu d’indiquer des vecteurs indiquer les coordonnées dans une base. Les coordonnées dépendent bien évidemment de la base choisie : il est donc impératif d’indiquer la base comme suit :
On a dans la base (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) :

\overrightarrow{\Omega_{(S/R)}}= \omega_{x} \vec{x} +\omega_{y} \vec{y}+\omega_{z} \vec{z} et \overrightarrow{V(A\in S/R)}= V_{x} \vec{x} +V_{y} \vec{y}+V_{z} \vec{z}

Le torseur s’écrit donc :


\{ V(S/R) \}_{A} =
\left\{
\begin{array}{r c l}
\omega_{x}\\
\omega_{y}\\
\omega_{z} 
\end{array}
\right.
\left.
\begin{array}{r c l}
V_{x}\\
V_{y}\\
V_{z}
\end{array}
\right \}_{A,(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}
8.2.1- L’exemple de la température en montagne

En montagne lorsqu’on monte de 1000m la température chute de 15°C degrés. Si je connais la température à une altitude z_{0}, alors je peux déduire la température à n’importe quelle altitude z en écrivant :

T°(z)=T°(z_{0}) -15°/km \times (z-z_{0})

Pour déterminer la température (la vitesse) je dois connaître :

  • la température en un point T(z_{0}) (la vitesse d’un point A : \overrightarrow{V(A\in S/R)})
  • le changement de température par variation d’altitude -15°C/km (le taux de rotation
    \overrightarrow{\Omega_{(S/R)}})

Alors je peux connaître la température en tout point (la vitesse en tout point) :

T°(z)=T°(z_{0}) -15°/km \times (z-z_{0})  \overrightarrow{V(B\in S/R)} = \overrightarrow{V(A\in S/R)} +\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \vec{AB}
8.2.2- Remarque

Le vecteur accélération ne peut pas s’écrire comme un torseur car la relation de changement de point ne s’écrit pas comme une relation de torseur :

 \overrightarrow{a(B\in S/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R)} +[\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)} \wedge \overrightarrow{AB})

et non  \overrightarrow{a(B\in S/R)} = \overrightarrow{a(A\in S/R)} +[\frac{d}{dt}\overrightarrow{\Omega}_{(S/R)}] \wedge \overrightarrow{AB}

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