Sciences-industrielles.com

Cours, exercices et corrections en SI

Asservissement

Cours 29 décembre 2014, par Hadrien Bainier

Dans ce cours nous allons chercher à optimiser le fonctionnement d’un système. Pour cela, nous allons modéliser chacun de ses composants et les relier en utilisant un schéma bloc. Nous allons ensuite
modéliser les signaux d’entrée et calculer les performances du système en analysant le signal de sortie.

Le cours est en trois parties :

  • modélisation des systèmes (Sup)
  • définition d’un système asservi (Sup)
  • études des performances (Spé)

 1- Modélisation du système

1.1- Introduction à la modélisation

Dans cette section nous allons :

  • modéliser les signaux d’entrée
  • modéliser les composants
  • relier les composants en utilisant un schéma bloc

Pour modéliser simplement le système nous allons présenter la transformée de Laplace.

1.2- La transformée de Laplace

Pour simplifier la résolution d’un système d’équations on exprimera les équations dans le domaine de Laplace.

1.2..1- Point de départ

En mathématiques on définit la transformée de Laplace d’une fonction f par :


L(f)= F(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt

En sciences industrielles on ne manipule que des fonctions "causales" c’est à dire des fonctions qui sont nulles pour t<0. Pour transformer une fonction f en une fonction causale (i.e nulle pour t<0) on la multiplie par la fonction u(t) qui est définie par :

  • u(t)=0 pour t < 0
  • u(t)=1 pour t > 0

On a donc :


L(f)= F(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)u(t) e^{-pt} dt=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt

1.2.2- Transformée de Laplace d’une fonction causale

On a la formule :


L(f)= F(p) =\int_{0}^{+\infty} f(t)u(t) e^{-pt} dt

1.2.2.1- Remarques importantes
  • c’est cette formule que l’on utilisera en sciences industrielles.
  • en minuscule une fonction dans le domaine temporel f(t)
  • en majuscule une fonction dans le domaine de Laplace F(p)
1.2.3- Transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction

On a la formule :


L(f’) =\int_{0}^{+\infty} f’(t) e^{-pt} dt= pF(p) - f(0^{+})

1.2.4- Transformée de Laplace de la dérivée seconde d’une fonction

On a la formule :


L(f’’) =\int_{0}^{+\infty} f’’(t) e^{-pt} dt= p^{2}F(p) - pf(0^{+})-f’(0^{+})

1.2.5- Transformée de Laplace de la dérivée n-ième d’une fonction

On a la formule :


L(f^{(n)}) =\int_{0}^{+\infty} f^{(n)}(t) e^{-pt} dt= p^{n}F(p) - p^{n-1}f(0^{+})-p^{n-2}f’(0^{+}) - ...- f^{(n-1)}(0^{+})

1.2.6- Transformée de Laplace d’une primitive d’une fonction

Soit g(t) telle que g’(t)=f(t)
On a la formule :


L(f^{(n)}) =\int_{0}^{+\infty} g(t) e^{-pt} dt= \frac{F(p)}{p} + \frac{g(0^{+})}{p}

1.2.7- Théorème de la valeur initiale

 \lim_{t\rightarrow 0} f(t) = \lim_{p\rightarrow \infty} F(p)

1.2.8- Théorème de la valeur finale

 \lim_{t\rightarrow \infty} f(t) = \lim_{p\rightarrow 0} F(p)

1.2.8.1- Remarque

En pratique on utilisera le théorème de la valeur finale pour calculer facilement l’erreur erreur (t) en travaillant sur sa transformée de Laplace Erreur (p).

1.2.9- Théorème du retard

L(f(t- \tau)) =e^{-\tau p} F(p)

Démonstration :


L(f(t- \tau)) =\int_{\tau}^{+\infty} f(t-\tau) e^{-pt} dt=e^{-\tau p} \times \int_{\tau}^{+\infty} f(t-\tau) e^{-p(t-\tau)} dt = e^{-\tau p}  \int_{0}^{+\infty} f(u) e^{-p(u)} du

1.2.9.1- Remarque

En pratique on utilisera le théorème du retard pour représenter un retard ou un délai dans un schéma bloc.

1.3- Modélisation des signaux d’entrée

1.3.1- Signal échelon
signal échelon d’intensité E_{0} échelon unitaire
définition t<0  : e(t)=0

t>0  : e(t)=E_{0}

t<0  : e(t)=0

t>0  : e(t)=1

fonction e(t) = E_{0} u(t) e(t) = u(t)
transformée de Laplace E(p)=\frac{E_{0}}{p} E(p)=\frac{1}{p}
graphe
1.3.2- Signal impulsion

On définit un signal s(t) de durée \Delta et d’amplitude \frac{1}{\Delta} on remarque que quel que soit \Delta on a \int_{t=0}^{t=+\infty}s(t)=\int_{t=0}^{t=\Delta}\frac{1}{\Delta}=1. L’impulsion \delta (t) est le signal obtenu lorsqu’on fait tendre \Delta \rightarrow 0 (voir courbe bleue ci-dessous).

Le signal impulsion est dit unitaire car son aire est égale à 1 (son amplitude est infinie).

signal impulsion d’aire A impulsion d’aire 1
définition t<0  : e(t)=0 t<0 e(t)=0
0<t<\Delta  : e(t)=\frac{A}{\Delta} 0<t<\Delta e(t)=\frac{1}{\Delta}
on fait tendre \Delta vers 0 on fait tendre \Delta vers 0
avec \int_{0}^{\infty} e(t)=A \int_{0}^{\infty} e(t)=1
transformée de Laplace E(p)=A E(p)=1
graphe
1.3.3- Signal rampe
signal rampe de coefficient a rampe de coefficient 1
définition pour t<0 e(t)=0 t<0 e(t)=0
graphe
1.3.3.1- Signal sinusoïdal
signal signal sinusoïdal d’amplitude E_{0} signal sinusoïdal d’amplitude 1
définition pour t<0 e(t)=0 t<0 e(t)=0
pour t>0 e(t)=E_{0} sin(\omega t) t>0 e(t)=sin(\omega t)
fonction e(t)=E_{0} sin(\omega t)u(t) t>0 e(t)=sin(\omega t)u(t)
transformée de Laplace E(p)=\frac{E0 \times \omega}{p^{2}+\omega^{2}} E(p)=\frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}
graphe

1.4- Modélisation des composants du système

Modéliser un composant c’est trouver une équation qui relie l’entrée e(t) et la sortie s(t). On se limitera aux équation différentielles d’ordre au plus 2 à coefficients constants.

On va voir 5 modèles pour représenter un composant :

  • gain pur
  • intégrateur pur
  • retard pur
  • premier ordre
  • second ordre
Équation temporelle Fonction de transfert Bloc Dénomination
s(t)=Ke(t) H(p)=K Gain pur
\frac{ds(t)}{dt}=e(t) \frac{1}{p} Intégrateur pur
s(t)=e(t-T) H(p)=e^{T p } Retard pur
\tau \frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t) \frac{K}{1+\tau p} Premier ordre \frac{1}{\omega_{0}^{2}}\frac{d^{2}s(t)}{dt^{2}} + \frac{2\xi}{\omega_{0}}\frac{ds(t)}{dt}+s(t)=Ke(t) \frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}p} Second ordre
\tau \frac{ds(t)}{dt}+s(t)= a \tau \frac{de(t)}{dt} + e(t) \frac{1+a \tau p}{1 + \tau p} Correcteur à avance de phase
 b \tau \frac{ds(t)}{dt}+s(t)=  \tau \frac{de(t)}{dt} + e(t) \frac{1+ \tau p}{1 + b \tau p} Correcteur à retard de phase
1.4.1- Le Gain pur

Le gain pur est une constante elle se modélise dans le domaine de Laplace par une constante K.

1.4.1.1- Exemples

On modélisera par un intégrateur pur :

-* un rapport de réduction K=-\frac{R_{1}}{R_{2}}

On choisit

  • en entrée : la vitesse de rotation d’entrée \omega_{e}
  • en sortie : la vitesse de rotation en sortie \omega_{s}

On a la relation :

 \omega_{s}(t) = K \omega_{e}(t)


En passant dans le domaine de Laplace :

 \Omega_{s}(p) = K \Omega_{e}(p)


On modélise le réducteur par un gain pur K :

1.4.2- L’ Intégrateur pur

L’intégrateur pur modélise une intégration il se modélise dans le domaine de Laplace par \frac{1}{p}.

1.4.2.1- Exemples

On modélisera par un intégrateur pur :

  • le passage \dot{x} \rightarrow x
  • le passage \dot{\theta} \rightarrow \theta
  • le passage d’un débit volumique de fluide \dot{V} à un volume de fluide V
1.4.3- Le retard pur

L’intégrateur pur modélise un retard il se modélise dans le domaine de Laplace par e^{-\tau p}.

1.4.3.1- Exemples

On modélisera par un retard pur :

  • le délai d’un produit sur un tapis roulant x (t) \rightarrow x(t-\tau)
1.4.4- Système du premier ordre (analyse temporelle)
1.4.4.1- Définition d’un système du premier ordre

Lorsque la sortie s(t) est reliée à l’entrée par une équation du type :

 \tau \frac{d s(t)}{dt} + s(t) = K e(t)

On utilise le modèle du premier ordre.

Passons cette équation dans le domaine de Laplace. On se place dans les conditions d’Heaviside (i.e s(0)=0).

 \tau p S(p) + S(p) = K E(p)


que l’on met sous la forme :

 S(p) = H(p) E(p)


avec :

 H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}

1.5- Relier les composants : le schéma bloc

On mettra un système asservi sous la forme d’un schéma bloc. Cependant on peut représenter n’importe quel système linéaire, asservi ou non, par un schéma bloc. Pour représenter un système sous la forme d’un schéma bloc on a besoin de deux opérations la multiplication et la soustraction (ou l’addition).

1.5.1- La multiplication
1.5.1.1- exemple : Engrenage à axe parallèle

On définit :

  • l’entrée \omega _{e}(t) \rightarrow \Omega_{e}(p)
  • la sortie \omega _{s} (t)\rightarrow \Omega_{s}(p)
  • le rapport de réduction \frac{\omega _{s}}{\omega _{e}}= \frac{R_{e}}{R_{s}}=k (on ne s’intéresse pas au signe)

Sous forme de schéma bloc on écrira :

Ainsi si on a deux multiplications : par exemple un réducteur à deux étage de réduction k_{1} et k_{2}

alors on écrira le schéma bloc sous la forme :

ou plus simplement :

1.5.2- La soustraction
1.5.2.1- exemple : Équation électrique d’un moteur à courant continu

 u(t) - e(t) = R i(t)


Passage dans le domaine de Laplace :

U(p)-E(p)= RI(p)

On définit :

  • l’entrée u(t) \rightarrow U(p)
  • la sortie  i(t) \rightarrow I(p)

1.5.3- Fonctions de transfert

On a modélisé le système avec un schéma bloc. On cherche maintenant à ramener le schéma bloc sous une forme simple :

On a un schéma bloc général de la forme :

1.5.3.1- Définition : Fonction de transfert en boucle fermée : FTBF

On cherche un schéma bloc équivalent plus simple de la forme :

La fonction de transfert en boucle fermée FTBF est cette fonction équivalente telle que :

 \frac{S(p)}{E(p)}=FTBF(p)

1.5.3.2- Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée

On cherche à calculer le rapport \frac{S(p)}{E(p)} écrivons l’équation du système ci- dessus :

 E(p) - G(p) S(p) = \epsilon (p) \text{ avec }\epsilon (p) =E(p)-G(p)S(p)

On a donc :

E(p) - G(p) S(p) =\frac{S(p)}{F(p)}


F(p)E(p) - F(p)G(p) S(p) =S(p)


(1+F(p)G(p))S(p)=F(p)E(p)


Finalement :

 \frac{S(p)}{E(p)}= FTBF(p) = \frac{F(p)}{1+F(p)G(p)}

1.5.3.3- Définition : FTBO FTCD
  • On appelle FTBO fonction de transfert en boucle ouverte le terme : F(p)G(p)
  • On appelle FTCD fonction de transfert en chaîne directe le terme F(p)

La FTBF se récrit :

FTBF(p) = \frac{FTCD(p)}{1+FTBO(p)}

1.5.4- Manipulation des schémas blocs

Le passage des équations à la modélisation du système amène parfois à schéma bloc de forme tortueuse. Pour exploiter ce schéma bloc c’est à dire en pratique calculer la FTBF on a besoin de le modifier sans pour autant toucher à la FTBF que l’on souhaite calculer. On liste ici les possibilités pour modifier le schéma bloc :

1.5.4.1- Déplacement d’un sommateur
S(p)=(E(p)-G(p)R(p))F(p) E(p)F(p)-F(p)G(p)R(p)= (E(p)-G(p)R(p))F(p)

ou encore :

S(p)=(E(p)-G(p)R(p))F(p) (E(p)\frac{1}{G(p)}-R(p))F(p)G(p)= (E(p)-G(p)R(p))F(p)

Cette seconde transformation sera utilisée pour transformer un système à retour non unitaire en un système à retour unitaire en insérant un bloc \frac{1}{G(p)} après la consigne, pour "adapter la consigne" : ce bloc est appelé l’adaptateur.

1.5.4.2- Déplacement d’un point de prélèvement
S(p) = F(p)E(p) et  R(p)=E(p) S(p) = F(p)E(p) et  R(p)=E(p)

ou encore :

 S(p) = F(p)E(p) \text{ et } R(p)=F(p)E(p)  S(p) = F(p)E(p) \text{ et } R(p)=F(p)E(p)
1.5.4.3- Interversion des sommateurs
S(p) = E(p)-R_{1}(p)-R_{2}(p) S(p) = E(p) -R_{2}(p)-R_{1}(p)
1.5.4.4- Interversion des points de prélèvement
R_{1}(p) = E(p) \text{&nbsp;; } R_{2}(p)=E(p) \text{&nbsp;; } S(p)=E(p) R_{1}(p) = E(p) \text{&nbsp;; } R_{2}(p)=E(p) \text{&nbsp;; } S(p)=E(p)

1.6- Analyse temporelle des principaux modèles de composants

1.6.1- Le Gain pur

Lorsque la sortie s(t) est reliée à l’entrée e(t) par une constante K on utilise le modèle du gain pur. Dans le domaine de Laplace le gain pur est K.

Équation temporelle réponse à un échelon (e(t)=E_{0}u(t)) réponse à une rampe (e(t)=atu(t))
s(t)=Ke(t)
1.6.2- L’ Intégrateur pur

Lorsque la dérivée de la sortie s(t) est reliée à l’entrée e(t) on utilise le modèle de l’intégrateur. Dans le domaine de Laplace l’intégrateur pur est \frac{1}{p}.

Équation temporelle réponse à un échelon (e(t)=E_{0}u(t)) réponse à une rampe (e(t)=atu(t))
\frac{ds(t)}{dt}=e(t)
1.6.3- Le retard pur

Lorsque la sortie s(t) est reliée à l’entrée e(t) par un décalage temporel (s(t)=e(t-\tau)) on utilise le modèle du retard pur. Le retard pur se modélise dans le domaine de Laplace par e^{-\tau p}.

Équation temporelle réponse à un échelon (e(t)=E_{0}u(t)) réponse à une rampe (e(t)=atu(t))
\frac{ds(t)}{dt}=e(t)
1.6.4- Système du premier ordre (analyse temporelle)

Lorsque la sortie s(t) est reliée à l’entrée par une équation du type :

 \tau \frac{d s(t)}{dt} + s(t) = K e(t)

On utilise le modèle du premier ordre.

1.6.4.1- Constantes d’un premier ordre
  • K est le gain statique
  • \tau est la constante de temps

Passons cette équation dans le domaine de Laplace. On se place dans les conditions d’Heaviside (conditions initiales nulles) c’est à dire s(0)=0.

 \tau p S(p) + S(p) = K E(p)


que l’on met sous la forme :

 S(p) = H(p) E(p)


avec :

 H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}

1.6.4.2- Réponse d’un système du premier ordre à un échelon d’intensité E_{0} :

La fonction échelon est définie mathématiquement :

  • dans le domaine temporel par e(t)= E_{0} u(t)
  • dans le domaine de Laplace par \frac{E_{0}}{p}
1.6.4.3- Méthode physique

Par intégration directe (méthode physique) on trouve :

  • comme solution particulière : K E_{0}
  • comme solution homogène : \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}

Et donc la solution de l’équation différentielle :
KE_{0} + \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
On a de plus la condition initiale s(0)=0 La solution est donc :

 K E_{0} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

1.6.4.4- Méthode SI

Par passage dans le domaine de Laplace (méthode SI) on trouve :

 S(p) = H(p) E(p)


 S(p)= \frac{K}{1+\tau p} \frac{E_{0}}{p}


On décompose ensuite en éléments simples sous la forme :

 S(p)=\frac{K}{1+\tau p} \frac{E_{0}}{p} = \frac{A}{p}+\frac{B}{1+\tau p}

On multiplie par p, puis p=0 : A=KE_{0}
On multiplie par 1+\tau p, puis p=\frac{-1}{\tau} : B=-KE_{0}\tau
Finalement :

 S(p)=\frac{K}{1+\tau p}\frac{E_{0}}{p} = \frac{KE_{0}}{p}-\frac{KE_{0}\tau}{1+\tau p}

Par le tableau des transformées inverses de Laplace on a :

s(t)= K E_{0} (1-e^{-\frac{t}{\tau}})

En résumé :

Méthode Méthode SI Méthode physique
Résolution Passage dans le domaine de Laplace Intégration directe
Entrée E(p)=\frac{E_{0}}{p} e(t)= E_{0} u(t)
Résolution S(p) = H(p) E(p) avec H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}
décomposition en éléments simples :
S(p)=\frac{K}{1+\tau p} \frac{E_{0}}{p} = \frac{A}{p}+\frac{B}{1+\tau p}
\times p puis p=0 : A=KE_{0}
\times (1+\tau p) puis p=\frac{-1}{\tau} : B=-KE_{0}\tau
\frac{K}{1+\tau p} \frac{E_{0}}{p} = \frac{KE_{0}}{p}-\frac{KE_{0}\tau}{1+\tau p}
solution particulière : K E_{0}
solution homogène : \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
solution sans la condition initiale :
KE_{0} + \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
s(t=0)=0
solution transformée de Laplace inverse :
s(t)= K E_{0} -K E_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}=K E_{0} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})
s(t)=K E_{0} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})
1.6.4.5- Exemples
K 2 1 1 1
\tau 1 1 1 2
E0 2 2 1 1
graphe
1.6.4.6- Remarques
  • Évidemment on trouve la même solution par la méthode physique ou la méthode SI.
  • L’entrée tend vers E_{0} et la sortie vers KE_{0} : si K \neq 1 la sortie ne tend pas vers l’entrée
  • Plus \tau est grand et plus s(t) met du temps à rejoindre la valeur finale KE_{0}.
1.6.4.7- Réponse d’un premier ordre à une rampe de coefficient directeur a

La fonction rampe est définie mathématiquement :

  • dans le domaine temporel par e(t)= a\text{ }t\text{ }u(t)
  • dans le domaine de Laplace par \frac{a}{p^{2}}
1.6.4.8- Méthode physique

Par intégration directe (méthode physique) on trouve :

  • comme solution particulière : Kat-\tau K a
  • comme solution homogène : \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}

et donc la solution de l’équation différentielle :
Kat-\tau K a +\lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
On a de plus la condition initiale s(0)=0
La solution est donc :

s(t)= K a t + \tau K a (e^{-\frac{t}{\tau}}-1)

1.6.4.9- méthode SI

Par passage dans le domaine de Laplace (méthode SI) on trouve :

 S(p) = H(p) E(p)


On décompose ensuite en éléments simples sous la forme :

 S(p)=\frac{Ka}{p^{2}(1+\tau p)} = \frac{A}{p}+\frac{B}{p^{2}}+\frac{C}{1+\tau p}


On multiplie par p^{2}, puis p=0 : B=Ka
On multiplie par p, puis p\rightarrow \infty : A+\frac{C}{\tau}=0
On multiplie par 1+\tau p, puis p=\frac{-1}{\tau} : C= K a \tau^{2} d’où A=-K \tau a

 S(p)=\frac{Ka}{p^{2}(1+\tau p)}  = \frac{-K \tau a}{p} +\frac{K a}{p^{2}}+\frac{K \tau ^{2} a}{1+\tau p}


Par le tableau des transformées inverses on a :

 s(t)=-K \tau a+Kat + K\tau a \text{ }e^{-\frac{t}{\tau}}

En résumé :

Méthode Méthode SI Méthode physique
Résolution Passage dans le domaine de Laplace Intégration directe
Entrée E(p)=\frac{a}{p^{2}} e(t)= a\text{ }t\text{ }u(t)
Résolution S(p) = H(p) E(p) avec H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}
décomposition en éléments simples :
S(p)=\frac{K}{1+\tau p} \frac{a}{p^{2}} =  \frac{A}{p}+\frac{B}{p^{2}}+\frac{C}{1+\tau p}
\times p^{2} puis p=0 : B=Ka
\times(1+\tau p), puis p=\frac{-1}{\tau} :
\times p puis p\rightarrow \infty :
A+\frac{C}{\tau}=0
C= K a \tau^{2} d’où A=-K \tau a
S(p)=\frac{-K \tau a}{p} +\frac{K a}{p^{2}}+\frac{K \tau ^{2} a}{1+\tau p}
solution particulière : Kat-\tau K a
solution homogène : \lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
solution sans la condition initiale :
Kat-\tau K a +\lambda e^{-\frac{t}{\tau}}
s(t=0)=0
solution transformée de Laplace inverse :
s(t)=K a t -\tau K a (1-e^{-\frac{t}{\tau}})
s(t)=K a t -\tau K a (1-e^{-\frac{t}{\tau}})
1.6.4.10- Exemples :
K 2 1 1 1
\tau 1 1 1 2
a 2 2 1 1
graphe
1.6.4.11- Remarques
  • Évidemment on trouve la même solution par la méthode physique ou la méthode SI.
  • L’entrée tend vers E_{0} et la sortie vers KE_{0} : si K \neq 1 la sortie ne tend pas vers l’entrée
  • Plus \tau est grand et plus s(t) met du temps à rejoindre la valeur finale KE_{0}.
1.6.4.12- Réponse d’un premier ordre à une impulsion d’intensité A

La fonction impulsion (appelée Dirac) est définie mathématiquement :

  • dans le domaine temporel e(t)=\delta (t)
  • dans le domaine de Laplace par 1

Par la méthode SI On trouve :

S(p) = H(p) E(p)


S(p) = \frac{K}{1+\tau p} \times A


Par le tableau des transformées inverses on a :

s(t) = \frac{KA}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}}

1.6.4.13- Remarque
  • On n’a pas les outils mathématiques pour traiter le problème temporel par la méthode directe (Méthode physique).
  • La réponse s(t) est discontinue à l’origine (i.e s(0^{-})=0 tandis que s(0^{+})=\frac{K}{\tau}).
1.6.4.14- Exemples :
K 2 1 1 1
\tau 1 1 1 2
A 2 2 1 1
graphe
1.6.5- Synthèse sur le premier ordre
  • 2 coefficients caractéristiques :
    -* K gain statique
    -* \tau constante de temps
  • Réponse à un échelon E_{0}
    -* La sortie rejoint l’entrée si K=1
K K=1 K \neq 1
graphe

-* Plus la constante de temps \tau est grande \Rightarrow plus la sortie s(t) met de temps à atteindre sa valeur finale KE_{0}.

\tau \tau=1 \tau = 2
graphe
  • Réponse à une rampe de coefficient a
  • Si K=1la différence entre l’entrée et la sortie e(t)-s(t) tend vers une constante, sinon elle tend vers \mp \infty
K K=1 K \neq 1
graphe
1.6.6- Système du second ordre (régime temporel)

Lorsque la sortie s(t) est reliée à l’entrée e(t) par une équation du type :

 \frac{1}{\omega_{0}^{2}} \frac{d^{2} s}{dt^{2}} + \frac{2 \xi}{\omega_{0}} \frac{ds(t)}{dt} +s(t) =Ke(t)

on utilise un modèle du second ordre.

1.6.6.1- Constantes d’un second ordre
  • K est le gain statique
  • \xi est le coefficient d’amortissement
  • \omega_{0} est la pulsation propre non amortie

remarque : la pulsation propre non amortie est la pulsation à laquelle oscillerait le système s’il n’y avait pas d’amortissement \xi=0.

Passons cette équation dans le domaine de Laplace, on se place dans les conditions d’Heaviside (conditions initiales nulles) à savoir s(0)=0 et s’(0)=0.

 \frac{1}{\omega_{0}^{2}} p^{2} S(p) + \frac{2 \xi}{\omega_{0}}pS (p)+S(p) = K E(p)


que l’on met sous la forme :

S(p)= H(p) E(p)


Avec :

 H(p) = \frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2}}

1.6.6.2- Réponse d’un système du second ordre à un échelon d’intensité E_{0}

La fonction échelon est définie mathématiquement :

  • dans le domaine temporel par e(t) = E_{0} u(t)
  • dans le domaine de Laplace par \frac{E_{0}}{p}
1.6.6.3- Méthode physique

Par intégration directe (méthode physique) on trouve :

  • comme solution particulière : KE_{0}
  • comme solution homogène suivant les valeurs de \xi

On écrit le discriminant de l’équation :

 \Delta =(\frac{2 \xi}{\omega_{0}})^{2}-\frac{4}{\omega_{0}}^{2}

Le discriminant \Delta prend un signe différent suivant si \xi est \xi>1, \xi=1 ou \xi<1.

1.6.6.4- Discriminant négatif (\xi<1)

Les deux racines x_{1} et x_{2} sont données par :

x_{1}=\frac{-\frac{2 \xi}{\omega_{0}} +i \sqrt{\frac{4}{\omega_{0}^{2}}1-\xi^{2}}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}} \text{ et } x_{2}=\frac{-\frac{2 \xi}{\omega_{0}} -i \sqrt{\frac{4}{\omega_{0}^{2}}1-\xi^{2}}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}}

que l’on peut récrire plus simplement :

x_{1}=-\xi \omega_{0} +i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}} \text{ et } x_{2}=-\xi \omega_{0} -i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}

La solution de l’équation homogène s’écrit donc :

 Ae^{(-\xi \omega_{0} +i\omega_{0} \sqrt{1- \xi^{2}})t} + Be^{(-\xi \omega_{0} -i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}})t}

On peut factoriser par e^{-\xi \omega_{0} t} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (A e^{+i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t} +B e^{-i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t})

On va passer en notation sin et cos pour cela on doit faire apparaître \frac{A+B}{2} et \frac{A-B}{2} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (\frac{A+B}{2} e^{+i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t} +\frac{A+B}{2} e^{-i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t}+\frac{A-B}{2}e^{+i\omega_{0} \sqrt{1- \xi^{2}}t} + \frac{B-A}{2}e^{+i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t})

En remarquant que \frac{B-A}{2}e^{+i \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t}=-\frac{A-B}{2}e^{+i\omega_{0} \sqrt{1- \xi^{2}}t} on peut écrire :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (\frac{A+B}{2} cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t) + \frac{A-B}{2} sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)

Les constantes A et B étant arbitraires on peut faire le changement de variables : C=\frac{A+B}{2} et D=\frac{A-B}{2} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (C cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t) + D sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)

La solution totale qui est la somme de la solution homogène (ci- dessus) et la solution particulière (KE_{0}) est :

s(t)=KE_{0}+ e^{-\xi \omega_{0} t} (C cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t) + D sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)

On calcule s’(t) afin de préparer l’identification avec les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0 :

\beginmultline
s(t)’= e^-\xi \omega_0 t (-\xi \omega_0(C cos( \omega_0\sqrt1- \xi^2t) + D sin( \omega_0\sqrt1- \xi^2t ) \ + \omega_0\sqrt1- \xi^2 D cos( \omega_0\sqrt1- \xi^2t) - \omega_0\sqrt1- \xi^2 C sin(\omega_0\sqrt1- \xi^2t)
\endmultline

On a de plus les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0

La solution est donc :

s(t=0)=0 = KE_{0}+ C \Leftrightarrow C=-KE_{0}

s’(t=0)=0 =-\xi \omega_{0} C +\omega \sqrt{1-\xi^{2}} D \Leftrightarrow D=-\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}

Finalement la réponse du système du second ordre à une entrée échelon pour \xi<1 s’écrit :

s(t)=KE_{0}+ e^{-\xi \omega_{0} t} (-KE_{0} cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t) + -\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)

1.6.6.5- Discriminant nul (\xi=1)

La racine double x_{1} s’écrit :

x_{1}=\frac{-\frac{2 \xi}{\omega_{0}}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}} \text{ avec } \xi =1

que l’on peut récrire plus simplement :

x_{1}=- \omega_{0}

La solution de l’équation homogène s’écrit donc :

 (At+B)e^{- \omega_{0} t}

La solution totale qui est la somme de la solution homogène (ci- dessus) et la solution particulière (KE_{0}) est :

s(t)=KE_{0}+ (At+B)e^{- \omega_{0} t}

On calcule s’(t) afin de préparer l’identification avec les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0 :

s’(t)= A e^{- \omega_{0} t}- \omega_{0}(At+B)e^{- \omega_{0} t} = (A-\omega_{0}(At+B)) e^{- \omega_{0} t}

On a les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0

La solution est donc :

s(t=0)=0 \Leftrightarrow B=-KE_{0}

s’(t=0)=0 \Leftrightarrow A=-\omega_{0} KE_{0}

Finalement la réponse du système du second ordre à une entrée échelon pour \xi=1 s’écrit :

s(t)=KE_{0}+ (KE_{0}\omega_{0} t-KE_{0})e^{- \omega_{0} t}

1.6.6.6- Discriminant positif (\xi>1)

Les deux racines x_{1} et x_{2} sont données par :

x_{1}=\frac{-\frac{2 \xi}{\omega_{0}} + \sqrt{\frac{4}{\omega_{0}^{2}}\xi^{2}-1}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}} \text{ et } x_{2}=\frac{-\frac{2 \xi}{\omega_{0}} - \sqrt{\frac{4}{\omega_{0}^{2}}\xi^{2}-1}}{\frac{2}{\omega_{0}^{2}}}

que l’on peut récrire plus simplement :

x_{1}=-\xi \omega_{0} + \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1} \text{ et } x_{2}=-\xi \omega_{0} - \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}

La solution de l’équation homogène s’écrit donc :

 Ae^{(-\xi \omega_{0} +\omega_{0} \sqrt{\xi^{2}-1})t} + Be^{(-\xi \omega_{0} - \omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1})t}

On peut factoriser par e^{-\xi \omega_{0} t} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (A e^{\omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t} +B e^{\omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t})

On va passer en notation sh et ch pour cela on doit faire apparaître \frac{A+B}{2} et \frac{A-B}{2} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (\frac{A+B}{2} e^{ \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t} +\frac{A+B}{2} e^{ \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t}+\frac{A-B}{2}e^{\omega_{0} \sqrt{ \xi^{2}-1}t} + \frac{B-A}{2}e^{\omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1}t})

En remarquant que \frac{B-A}{2}e^{\omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t}=-\frac{A-B}{2}e^{\omega_{0} \sqrt{\xi^{2}-1}t} on peut écrire :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (\frac{A+B}{2} ch( \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t) + \frac{A-B}{2} sh( \omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1}t)

Les constantes A et B étant arbitraires on peut faire le changement de variables : C=\frac{A+B}{2} et D=\frac{A-B}{2} :

 e^{-\xi \omega_{0} t} (C ch( \omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1}t) + D sh( \omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1}t)

La solution totale qui est la somme de la solution homogène (ci- dessus) et la solution particulière (KE_{0}) est :

s(t)=KE_{0}+ e^{-\xi \omega_{0} t} (C ch( \omega_{0}\sqrt{ \xi^{2}-1}t) + D sh( \omega_{0}\sqrt{\xi^{2}-1}t)

On calcule s’(t) afin de préparer l’identification avec les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0 :

\beginmultline
s(t)’= e^-\xi \omega_0 t (-\xi \omega_0(C ch( \omega_0\sqrt1- \xi^2t) + D sh( \omega_0\sqrt1- \xi^2t ) \ + \omega_0\sqrt1- \xi^2 D ch( \omega_0\sqrt1- \xi^2t) + \omega_0\sqrt1- \xi^2 C sh(\omega_0\sqrt1- \xi^2t)
\endmultline

On a de plus les conditions initiales s(0)=0 et s’(0)=0

La solution est donc :

s(t=0)=0 = KE_{0}+ C \Leftrightarrow C=-KE_{0}

s’(t=0)=0 =-\xi \omega_{0} C +\omega \sqrt{1-\xi^{2}} D \Leftrightarrow D=-\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}

Finalement la réponse du système du second ordre à une entrée échelon pour \xi<1 s’écrit :

s(t)=KE_{0}+ e^{-\xi \omega_{0} t} (-KE_{0} ch( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t) + -\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sh( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)

1.6.6.7- Méthode SI

Par passage dans le domaine de Laplace (Méthode SI) on trouve :

 S(p) = H(p) E(p)


 S(p) = \frac{KE_{0}}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})}

On décompose ensuite S(p) en éléments simples en distinguant les cas :

  • si \xi >1 \Rightarrow 1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2} admet deux racines réelles.
  • si \xi =1 \Rightarrow 1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2} admet une racine double réelle.
  • si \xi <1 \Rightarrow 1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2} n’admet pas de racines réelles (admet deux racines complexes conjuguées)

 S(p) = \frac{KE_{0}}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})}

1.6.6.8- Discriminant négatif (\xi<1)

Le tableau des transformées inverses nous donne pour
\frac{KE_{0}}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})} avec \xi<1 :

 \frac{1}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})}  \Rightarrow 1-e^{-\xi \omega_{0} t} (sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}t)+ \frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}t)

On trouve donc :

s(t)=KE_{0}-e^{-\xi \omega_{0} t} (KE_{0}sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}t)+ \frac{\xi KE_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}t)

1.6.6.9- Discriminant nul (\xi=1)

Si \xi =1 alors le polynôme :1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p +\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2} s’écrit \frac{1}{\omega_{0}^{2}}(p+\omega_{0})^{2}

On peut donc récrire :S(p)=\frac{KE_{0}}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})} en :
S(p)=\frac{KE_{0}}{p \frac{1}{\omega_{0}^{2}}(p+\omega_{0})^{2}}

Finalement :

 \frac{KE_{0} \omega_{0}^{2}}{p (p+\omega_{0})^{2}} =\frac{A}{p} + \frac{B}{p+\omega_{0}}+\frac{C}{(p+\omega_{0})^{2}}

On multiplie par p, puis p=0 : A=KE_{0}
On multiplie par (p+\omega_{0})^{2}, puis p=-\omega_{0} : C=-KE_{0}\omega_{0}
On multiplie par p, puis p\rightarrow \infty : B=-KE_{0}

En utilisant le tableau des transformées inverses on trouve :

 s(t)=KE_{0} -KE_{0}e^{-\omega_{0}t} -KE_{0}\omega_{0}
te^{-\omega_{0}t}

1.6.6.10- Discriminant positif (\xi>1)

Si \xi >1 alors le polynôme :1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p +\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2} admet deux racines réelles distinctes et s’écrit (p+\omega_{0}(\xi - \sqrt{\xi^{2}-1}))(p+\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}))

On peut donc récrire :S(p)=\frac{KE_{0}}{p(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2})} en :
S(p)=\frac{KE_{0}}{p \frac{1}{\omega_{0}^{2}}(p+\omega_{0}(\xi - \sqrt{\xi^{2}-1}))(p+\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}))}

On décompose ensuite en éléments simples :

S(p)=\frac{KE_{0}\omega_{0}^{2}}{p (p+\omega_{0}(\xi - \sqrt{\xi^{2}-1}))(p+\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}))} = \frac{A}{p}+ \frac{B}{p+\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1})}+\frac{C}{p+\omega_{0}(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1})}

On multiplie par p, puis p=0 \Rightarrow A=KE_{0}
On multiplie par (p+\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}), puis p=-(\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1})) \Rightarrow B=\frac{KE_{0}}{2(\xi^{2}+\xi \sqrt{\xi^{2}-1}-1)}
On multiplie par (p+\omega_{0}(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1})), puis p= -(\omega_{0}(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}) \Rightarrow C=\frac{KE_{0}}{2(\xi^{2}-\xi \sqrt{\xi^{2}-1}-1)}

En utilisant le tableau des transformées inverses on trouve :

 s(t)= KE_{0}+\frac{KE_{0}}{2(\xi^{2}+\xi \sqrt{\xi^{2}-1}-1)}e^{-(\omega_{0}(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}))t} +\frac{KE_{0}}{2(\xi^{2}-\xi \sqrt{\xi^{2}-1}-1)}e^{-(\omega_{0}(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}))t}

On pourrait montrer que cette solution est égale à celle trouvée par la méthode physique mais cela n’a aucun intérêt.

1.6.6.11- Exemples :
régime apériodique critique pseudo-périodique oscillateur pur
E0 2 2 1 1
K 1 1 1 1
\omega_{0} 1 1 1 2
\xi \sqrt{2} 1 0.7 0
\Delta=
 \frac{4}{\omega_{0}^{2}}(\xi^{2}-1) >0 =0 <0 <0
graphe

1.7- Analyse fréquentielle

1.7..1- L’analyse temporelle qu’est ce que c’est :

Prenons un exemple simple un système masse ressort amortissement.
On s’est intéressé jusque là à l’expérience dans laquelle on tire sur le ressort et on observe l’évolution de la position de la masse.
On s’intéresse à la position de la masse en fonction du temps.

1.7.1.1- L’analyse fréquentielle qu’est ce que c’est ?

On reprend l’exemple du système du système masse ressort amortissement. On s’intéresse maintenant à l’amplitude du mouvement en régime établi lorsqu’on soumet le système à une excitation de pulsation \omega. C’est à dire lorsqu’on soumet le système à entrée sinusoïdale (voir modélisation des signaux d’entrée).

1.7.2- Lien entre l’analyse temporelle et l’analyse fréquentielle

De prime abord lorsqu’on soumet un système à une consigne échelon on s’intéresse à la réponse du système en fonction du temps et on n’a pas grand intérêt à connaître la réponse à une excitation sinusoïdale. Cependant on sait d’après le cours de mathématiques que tout signal périodique est décomposable en une somme de fonctions sinus et cosinus.

L’analyse fréquentielle a deux buts :

  • éviter le phénomène de résonance
  • éviter le phénomène d’instabilité

Lorsqu’on soumet un système à une certaine plage de fréquence on peut avoir un phénomène de résonance qui est en pratique très destructeur pour le système. C’est le premier intérêt de l’analyse fréquentielle.
Pour les systèmes asservis on a en plus un phénomène d’instabilité qui peut apparaître et que l’on va peut appréhender par l’analyse fréquentielle.

1.7.3- Étude fréquentielle
1.7.3.1- Résumé du blabla

Pour étudier le système en fonction du temps on le soumet à une consigne de type échelon, rampe ou impulsion.

Pour étudier le système en fréquentiel c’est à dire connaître l’amplitude du mouvement en fonction de la pulsation \omega à laquelle on l’excite on soumet le système à une entrée sinusoïdale de pulsation \omega.

On cherche donc à calculer la réponse du système pour une entrée sinusoïdale.

1.7.4- Étude fréquentielle d’un système du premier ordre
1.7.4.1- Définition d’un système du premier ordre

Un système du premier ordre est régi par une équation du type :

 \tau \frac{d s(t)}{dt} + s(t) = K e(t)

Passons cette équation dans le domaine de Laplace. On se place dans les conditions d’Heaviside (i.e s(0)=0).

 \tau p S(p) + S(p) = K E(p)


que l’on met sous la forme :

 S(p) = H(p) E(p)


avec :

 H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}

1.7.4.2- Passage dans le domaine fréquentiel

Pour passer la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel il suffit de remplacer la variable p par la variable j\omega. Ainsi on a :

Analyse temporelle Analyse fréquentielle
 H(p) = \frac{K}{1+ \tau p}  H(j\omega) = \frac{K}{1+j \tau \omega}

Pour étudier la fonction de transfert complexe on va s’intéresser à son module que l’on exprimera en décibel (dB), et son argument en degré (°).

1.7.4.3- Module de la fonction de transfert en décibel

Le module de H(j\omega) est défini comme suit :

 |H(j\omega)| = |\frac{K}{1+j \tau \omega}| = \frac{|K|}{|1+j \tau \omega|}


 |H(j\omega)| = \frac{|K|}{|1+j \tau \omega|} = \frac{K}{\sqrt{1^{2}+( \tau \omega)^{2}}}

On exprime le module en décibel :

 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log (|H(j\omega)|)


 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log K - 20\text{ } log (\sqrt{1+( \tau \omega)^{2}})


Car log(\frac{a}{b})=log(a)-log(b)

 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log K - 10\text{ } log (1+( \tau \omega)^{2})


Car log a^{n} =n\text{ } log(a)

On cherche maintenant à représenter |H(j\omega)|_{dB} en fonction de \omega de manière asymptotique :

  • pour \omega "petit" :1+( \tau \omega)^{2} \approx 1 et donc  20\text{ } log K - 10\text{ } log (1+( \tau \omega)^{2}) \approx 20\text{ } log K
  • pour \omega "grand" :1+( \tau \omega)^{2} \approx (\tau \omega)^{2}
    et donc  20\text{ } log K - 10\text{ } log ( \tau \omega)^{2} =20\text{ } log K - 20\text{ } log ( \tau \omega)

On cherche maintenant le point de concours des deux asymptotes :

20 log(K)=20log(K)-20log(\tau \omega )


soit \omega =\frac{1}{\tau}

Calculons la différence en décibel entre l’asymptote et la courbe au point \omega =\frac{1}{\tau} :

 20 log K - [20 log(K)-10 log(1+(\tau \omega )^{2})

en \omega=\frac{1}{T} :

 20 log K - [20 log(K)-10 log(1+(\tau \times \frac{1}{\tau} )^{2}) = -10 log(2) \approx 3dB

La différence en décibel entre l’asymptote et la courbe au point \omega=\frac{1}{\tau} est de 3dB.

1.7.4.4- Argument de la fonction de transfert en degré

L’argument de H(j\omega) est défini comme suit :

 arg(H(j\omega)) = arg(\frac{K}{1+j \tau \omega}) = arg(K)-arg(1+j \tau \omega)

car arg(\frac{a}{b}) = arg(a)- arg(b)

 arg(H(j\omega)) = -arctan( \tau \omega)


car arg(a+ib) = arctan(\frac{b}{a}) si a>0 et arctan(\frac{b}{a})+ \pi si a<0.

On cherche maintenant à représenter arg(H(j\omega)) en fonction de \omega de manière asymptotique :

  • pour \omega "petit" :-arctan( \tau \omega) \approx 0
  • pour \omega "grand" :-arctan( \tau \omega) \approx -\frac{pi}{2}=-90°
1.7.5- Tracés de Bode
K 1 1 10
\tau 1 10 10
|H(j\omega)|_{dB}
arg(H(j\omega))
1.7.6- Représentation de la fonction de transfert d’un premier ordre dans le plan de Nyquist

Le plan dit de Nyquist est le plan complexe que l’on utilise classiquement depuis la terminale.
Dans ce plan on peut choisir de représenter un complexe z=H(\omega)

  • z=a+ib par sa partie réelle et sa partie imaginaire
  • z=\rho e^{i \theta } par son module et son argument
K 1 1 10
\tau 1 10 10
H(j\omega)
1.7.7- Représentation de la fonction de transfert d’un premier ordre dans le plan de Black
K 1 1 10
\tau 1 10 10
H(j\omega)
1.7.7.1- Bande passante d’un système du premier ordre

La bande passante à 3dB est la plage de pulsation ou de fréquence telles que le module soit supérieur au module maximum moins 3dB.

Pour un système du premier ordre la fréquence de coupure est f_{c}= 2 \pi \omega_{c} =\frac{2 \pi}{ \tau }
la bande passante est [0,\frac{1 }{2 \pi \tau} ].

1.7.8- Étude fréquentielle d’un système du second ordre
1.7.8.1- Définition d’un système du second ordre

Un système est dit du second ordre s’il est régi par une équation différentielle du type :

 \frac{1}{\omega_{0}^{2}} \frac{d^{2} s}{dt^{2}} + \frac{2 \xi}{\omega_{0}} \frac{ds(t)}{dt} +s(t) =Ke(t)

Passons cette équation dans le domaine de Laplace, on se place dans les conditions d’Heaviside à savoir s(0)=0 et s’(0)=0.

 \frac{1}{\omega_{0}^{2}} p^{2} S(p) + \frac{2 \xi}{\omega_{0}}pS (p)+S(p) = K E(p)


que l’on met sous la forme :

S(p)= H(p) E(p)


Avec :

 H(p) = \frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2}}

1.7.8.2- Passage dans le domaine fréquentiel

Pour passer la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel il suffit de remplacer la variable p par la variable j\omega. Ainsi on a :

Analyse temporelle Analyse fréquentielle
 H(p) = \frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2}}  H(j\omega) = \frac{K}{1+j\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega -\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}}

Pour étudier la fonction de transfert complexe on va s’intéresser à son module que l’on exprimera en décibel (dB), et son argument en degré (°).

1.7.8.3- Module de la fonction de transfert en décibel

Le module de H(j\omega) est défini comme suit :

 |H(j\omega)| = |\frac{K}{1+j\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega -\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}}| = \frac{|K|}{|1+j\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega -\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}|}


 |H(j\omega)| = \frac{|K|}{1+j\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega -\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}} = \frac{K}{(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}})^{2}+(\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega)^{2} }

Pour plus de lisibilité on pose u=\frac{\omega}{\omega_{0}}

 |H(j\omega)| =  \frac{K}{\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}} }

On exprime le module en décibel :

 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log (|H(j\omega)|)

 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log K - 20\text{ } log (\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}})


Car log(\frac{a}{b})=log(a)-log(b)

 |H(j\omega)|_{dB} = 20\text{ } log K - 10\text{ } log ((1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2})


Car log a^{n} =n\text{ } log(a)

On cherche maintenant à représenter |H(j\omega)|_{dB} en fonction de \omega de manière asymptotique :

  • pour \omega "petit" c’est à dire u petit : (1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2} \approx 1 et donc
     20\text{ } log K - 20\text{ } log (\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}}) \approx 20\text{ } log K
  • pour \omega "grand" :(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2} \approx u^{4}
    et donc
    20\text{ } log K - 20\text{ } log (\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}}) \approx 20\text{ } log K - 10\text{ } log ( u^{4} )  \approx 20\text{ } log K - 40\text{ } log ( u )

On cherche maintenant le point de concours des deux asymptotes :

 20 log(K) = 20 log (K )  20\text{ } log K - 40\text{ } log ( \frac{\omega}{\omega_{0}} )

soit \omega=\omega_{0} (ou u=1)

Calculons la différence en décibel entre l’asymptote et la courbe au point \omega=\omega_{0} (ou u=1) :

20\text{ } log K - 20\text{ } log (\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}})-20\text{ } log K= -20 \text{ }log ((1-1)^{2}+(2 \xi)^{2})

1.7.8.4- Pulsation de coupure à 3 dB

On cherche maintenant la pulsation de coupure à 3dB ce qui correspond à une atténuation du signal de 30 \% :

 0.7 \approx \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_{0}})^{2})^{2}+(2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}})^{2}}}

Pour plus de lisibilité on pose u=\frac{\omega}{\omega_{0}}

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u^{2})^{2}+(2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}})^{2}}}


On égalise les dénominateur que l’on élève au carré :

 2=(1-u^{2})^{2}+(2 \xi u)^{2}

u^{4} +2 (2\xi^{2} -1)u^{2} -1=0

On tombe sur une équation bicarrée :

 \Delta = b^{2} -4ac \text{ avec } a=1 \text{ } b=2(2 \xi^{2} -1) \text{ } c=-1

u^{2}=\frac{-2(2 \xi^{2}-1)+2\sqrt{(2m^{2}-1)^{2}+1}}{2}

En revenant à la notation \omega :

\omega_{c}= \omega_{0} \sqrt{( 1-2\xi^{2})+\sqrt{(2m^{2}-1)^{2}+1}}

1.7.8.5- Argument de la fonction de transfert en degré

L’argument de H(j\omega) est défini comme suit :

 arg(H(j\omega)) = arg(\frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}j \omega-\frac{1}{\omega_{0}^{2}}\omega^{2}}) = arg(K)-arg(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}j \omega-\frac{1}{\omega_{0}^{2}}\omega^{2})=-arg(1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}j \omega-\frac{1}{\omega_{0}^{2}}\omega^{2})

car arg(\frac{a}{b}) = arg(a)- arg(b) et arg(K)=0 car K \in \mathbb{R} et \geq 0

 arg(H(j\omega)) = -arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}}) \text{ ou } \pi -arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}})


car arg(a+ib) = arctan(\frac{b}{a}) si a>0 et arctan(\frac{b}{a})+ \pi si a<0.

On cherche maintenant à représenter arg(H(j\omega)) en fonction de \omega de manière asymptotique :

  • pour \omega "petit" :\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}} \approx 0 \Rightarrow
-arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}}) \approx 0
  • pour \omega \approx \omega_{0}^{-} : \frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}} \approx + \infty \Rightarrow
-arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}}) \approx -\frac{\pi}{2}

Pour \omega \geq \omega_{0}
1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2} \leq 0 et donc :

 arg(H(j\omega)) = \pi -arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}})

  • pour \omega "grand": :\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}} \approx 0 \Rightarrow
\pi-arctan(\frac{ 2 \xi \frac{\omega}{\omega_{0}}}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}^{2}})^{2}}) \approx  -180°
1.7.9- Tracés de Bode
\xi \sqrt{2}>1 1 0.7
K 1 1 10
\omega_{0} 1 1 1
|H(j\omega)|_{dB}
arg(H(j\omega))
1.7.10- Représentation de la fonction de transfert d’un second ordre dans le plan de Nyquist
\xi \sqrt{2}>1 1 0.7
K 1 1 10
\omega_{0} 1 1 1
|H(j\omega)|_{dB}
1.7.11- Représentation de la fonction de transfert d’un second ordre dans le plan de Black
\xi \sqrt{2}>1 1 0.7
K 1 1 10
\omega_{0} 1 1 1
|H(j\omega)|_{dB}
1.7.12- Pulsations remarquables

Il faut bien différencier :

  • \omega_{0} : pulsation propre non amortie : c’est la pulsation à laquelle oscillerait le système du second ordre s’il n ’y avait pas d’amortissement (\xi=0)
  • \omega_{p}=\omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}} : c’est la pulsation à laquelle oscille le système amorti.
  • \omega_{r} : pulsation de résonance
    c’est la pulsation à pour laquelle l’amplitude de la fonction de transfert est maximale
  • \omega_{c} pulsation de coupure à 3dB
    C’est la pulsation pour laquelle le signal est atténué de 30\% soit en décibel de -3dB .
1.7.12.1- Remarque

Il ne faut pas confondre pulsation de cassure et pulsation de coupure \omega_{c} à 3dB. Pour un premier ordre ces deux valeurs sont égales. Pour un second ordre ce n’est pas le cas : \omega_{cassure}=\omega_{0} et \omega_{c}=\omega_{0} \sqrt{1-2\xi^{2}+\sqrt{(2\xi^{2}-1)^{2}+1}}

++++

 2- Système commandés en chaîne directe, ou asservi

2.1- Deux méthodes de commande

en chaîne directe asservi
2.1..1- Système commandé en chaine directe

Pour un système commandé en chaine directe on n’a aucune information sur la valeur de sortie. Pour un système asservi on établit la consigne en fonction de l’écart \varepsilon entre la consigne et l’entrée.

2.2- Influence des perturbations

en chaîne directe asservi
On ne prend pas en compte les perturbations dans la commande On prend en compte les perturbations dans la commande

L’influence des perturbations sera étudiée au chapitre précision.

2.3- Remarque importante

On asservit le système lorsqu’on place un capteur qui vient faire la soustraction \varepsilon=\text{consigne} - \text{entrée}.
Ce n’est pas parce qu’il y a un comparateur dans le schéma bloc que la commande est asservie. Exemple : le schéma bloc du moteur à courant continu est rappelé ci-après.

2.4- Structure d’un système asservi

Structure d’un système standard
Exemple 1 : Radiateur
Exemple 2 : Moteur

++++

 3- Performances du système

3.1- Définition des performances

Les performances du système sont :

  • la précision
  • la rapidité
  • dépassement (domaine temporel)
  • résonance (domaine fréquentiel)
  • la stabilité
3.1..1- Grandeurs associées
Performance Grandeurs associées Analyse (temporelle ou fréquentielle)
Précision \varepsilon_{s}, \varepsilon_{v} temporelle
Rapidité Tr_{5\%} : temps de réponse à 5\%, T_{m} : temps de montée temporelle
Dépassement 1^{er} dépassement en \% temporelle
Résonance plus haut dépassement en \% fréquentielle
Stabilité marge de gain : MG, marge de phase M\Phi temporelle et fréquentielle
3.1.1.1- Pour bien comprendre
Performance Question associée
Précision Est ce que la sortie arrive à rejoindre la valeur de consigne ?
Rapidité Combien de temps met la sortie à atteindre \mp 5\% de sa valeur finale et à y rester ?
Dépassement La sortie dépasse-t-elle la consigne, si oui de combien (en \%)
Résonance Y a-t-il une fréquence pour laquelle le rapport entre la sortie sur l’entrée est supérieure au gain statique.
Stabilité Si je soumets le système à une entrée bornée est ce que la sortie est aussi bornée ?

3.2- Précision

On définit l’erreur par :

 ERREUR = CONSIGNE-SORTIE


erreur (t) = e(t) - s(t)


Erreur (p) = E(p) - S(p)

On dira que le système est précis si la sortie arrive à rejoindre la consigne, ou autrement dit si l’erreur tend vers 0 lorsque t\rightarrow + \infty.

3.2..1- Remarque très importante

Pour définir la précision il est nécessaire que l’entrée et la sortie soient de même nature.

3.2.1.1- Remarque encore plus importante

Il faut bien distinguer la différence entre l’écart et l’erreur.

  • l’erreur est la différence entre le signal d’entrée (i.e la consigne ) et le signal de sortie dans le domaine temporel erreur(t) =e(t)-s(t) dans le domaine de Laplace Erreur(p)=E(p)-S(p)
  • l’écart est la différence entre les deux termes à la sortie du comparateur \epsilon (t) noté \epsilon (p) dans le domaine de Laplace.

L’écart et l’erreur sont égales lorsque le retour est unitaire.

Pour bien comprendre :

L’erreur et l’écart sont diffèrents (a \neq 1) L’erreur et l’écart sont égaux (a=1)
Le retour n’est pas unitaire Le retour est unitaire
schéma bloc
erreur Erreur(p) = E(p)-S(p) Erreur(p) = E(p)-S(p)
écart \epsilon = E(p) - a S(p) \epsilon = E(p) - 1 \times S(p)

Voyons sur un exemple concret la différence :

En régime permanent l’écart est nul tandis que l’erreur qui est la différence entre l’entrée et la sortie (ici la différence d’ordonnée entre bleu et vert est non nulle).

3.2.2- Précision statique, précision en vitesse

Pour évaluer la précision on regarde la différence entre le signal d’entrée et le signal de sortie. Pour le signal d’entrée on se limite aux deux signaux suivant :

  • l’entrée échelon
  • l’entrée rampe

L’entrée échelon donne une consigne constante. L’erreur "statique" \epsilon_{s} est la différence entre l’entrée échelon et le signal de sortie.

L’entrée rampe donne une consigne à variation constante (idée : vitesse constante). L’erreur "en vitesse" \epsilon_{v} est la différence entre l’entrée rampe et le signal de sortie.

3.2.3- Exemples
3.2.3.1- En statique
cas 1 cas 2 cas 3
Le système n’est pas précis en statique Le système n’est pas précis en statique Le système est précis en statique
L’erreur statique \epsilon_{s} est constante L’erreur statique \epsilon_{s} est nulle
3.2.3.2- En vitesse
cas 1 cas 2 cas 3
Le système n’est pas précis en vitesse Le système n’est pas précis en vitesse Le système est précis en vitesse
L’erreur en vitesse \epsilon_{v} est constante L’erreur en vitesse \epsilon_{v} est nulle
3.2.4- Calcul de la précision pour un système à retour unitaire non perturbé

On considère un système à retour unitaire de la forme :

avec F(p)=\frac{K}{p^{\alpha}}\frac{1+b_{1}p+b_{2}p^{2}+...}{1+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...} \sim_{0} \frac{K}{p^{\alpha}}

Dans le cas d’un système à retour unitaire l’écart et l’erreur sont égales.

On va calculer la précision du système pour différents types de consignes.

3.2.4.1- Erreur pour un système à retour unitaire

Erreur(p) = E(p)-S(p)=\epsilon(p) (parce que le système est à retour unitaire)

Or :

\epsilon(p) = E(p)-S(p) = E(p) -F(p) \epsilon (p)


D’où :

 \epsilon(p) = \frac{1}{1+F(p)}E(p)=\frac{1}{1+FTBO(p)}E(p)


Donc :

 Erreur(p) = \epsilon(p) = \frac{1}{1+FTBO(p)}E(p)

3.2.4.2- Erreur de position

Application :

e(t)=E_{0}u(t)  \rightarrow  E(p)= \frac{E_{0}}{p}


D’où :

 \lim_{t \rightarrow \infty} erreur(t) = \lim_{p \rightarrow 0} p \epsilon (p) = \lim_{p \rightarrow 0} p  \times \frac{1}{1+F(p)}\times \frac{E_{0}}{p}

 = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{E_{0}}{1+F(p)}


Or F(p)\approx \frac{K}{p^{\alpha}} en 0.
D’où :

 = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{E_{0}}{1+F(p)} = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{E_{0}}{1+\frac{K}{p^{\alpha}}}

Si \alpha = 0 Si \alpha = 1,2,3
erreur de position \lim_{p\rightarrow 0} \frac{E_{0}}{(1+\frac{K}{p^{\alpha}})} = \frac{E_{0}}{1+K}  \lim_{p\rightarrow 0} \frac{E_{0}}{(1+\frac{K}{p^{\alpha}})} =0
3.2.4.3- Erreur en vitesse

Application :

e(t)= a t u(t)  \rightarrow  E(p)= \frac{a}{p^{2}}


D’où :

 \lim_{t \rightarrow \infty} erreur(t) = \lim_{p \rightarrow 0} p \epsilon (p) = \lim_{p \rightarrow 0} p  \times \frac{1}{1+F(p)}\times \frac{a}{p^{2}}

 = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{a}{p(1+F(p))}


Or F(p)\approx \frac{K}{p^{\alpha}} en 0.
D’où :

 = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{a}{p(1+F(p))} = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{a}{p(1+\frac{K}{p^{\alpha}})}

Si \alpha = 0 Si \alpha = 1 Si \alpha = 2,3
erreur de vitesse \lim_{p\rightarrow 0} \frac{a}{p(1+\frac{K}{p^{\alpha}})} = \infty  \lim_{p\rightarrow 0} \frac{a}{p(1+\frac{K}{p^{\alpha}})} = \frac{a}{K} 0
3.2.4.4- Tableau récapitulatif :

Pour un système à retour unitaire de la forme :

avec F(p)=\frac{K}{p^{\alpha}}\frac{1+b_{1}p+b_{2}p^{2}+...}{1+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...}=\frac{K}{p^{\alpha}}

On a :

consigne f(t) F(p) \alpha =0 \alpha =1 \alpha=2,3...
erreur en position e(t) = E_{0} u(t) E(p) = \frac{E_{0}}{p} \frac{E_{0}}{1+K} 0 0
erreur en vitesse e(t) = a t u(t) E(p) = \frac{a}{p^{2}} \infty \frac{a}{K} 0
3.2.5- Erreur pour un système à retour unitaire perturbé

On considère un système à retour unitaire de la forme :

On calcule l’erreur c’est à dire E(p)-S(p).
Comme le système est à retour unitaire on a :
E(p)-S(p)= \epsilon(p).

On écrit les équations aux sommateurs :

 \epsilon (p) = E(p) - S(p)


 \epsilon (p) H(p) - P(p) = \frac{S(p)}{G(p)}


On cherche à avoir l’erreur qui dans le cas d’un retour unitaire est égale à l’écart \epsilon en fonction des deux entrées E(p) et P(p). On substitue donc S(p)

 \epsilon (p) = E(p) - S(p)


 G(p)\epsilon (p) H(p) - G(p)P(p) = S(p)


En substituant :

 \epsilon (p) = E(p) - G(p)\epsilon (p) H(p) + G(p)P(p)


D’où :

 \epsilon (p) = \frac{1}{1+H(p) G(p)}
E(p) + \frac{G(p)}{1+H(p) G(p)}P(p)

3.2.5.1- Remarque

Regardons cette expression : l’erreur qui est la différence entre l’entrée et la sortie (qui ici est égale à l’écart ) est la somme d’une contribution de la consigne E(p) et de la contribution des perturbations P(p).
En effet le système est linéaire : (comme en électricité ) la réponse du système aux entrées E(p) et S(p) est la somme des réponses lorsque l’on prend chacune des entrées séparément c’est à dire la somme des réponses lorsque :

  • E(p)=E(p) et P(p)=0
  • E(p)=0 et P(p)=P(p)
3.2.5.2- Étude de E(p)=E(p) et P(p)=0

Si le système n’est pas soumis à des perturbations en pratique P(p)=0 alors on retrouve le cas précédent du système à retour unitaire non perturbé avec :

On a les résultats de la partie précédente sur ce système en prennant H(p) G(p) = F(p).

3.2.5.3- Étude de E(p)=0 et P(p)=P(p)

Le système n’est soumis qu’à la perturbation : on s’intéresse à l’erreur c’est à dire la différence entre l’entrée et la sortie, qui est due aux perturbations.

Le système est sous la forme suivante :

Pour réécrire facilement le schéma bloc écrivons les équations aux sommateurs :

 0 - S(p) = \epsilon(p)


\epsilon(p) H(p) - P(p) = \frac{S(p)}{G(p)}


Soit en substituant  S(p) :

 \epsilon(p) H(p) - P(p) = -\frac{\epsilon(p)}{G(p)} \text{ puis }  - P(p) = -\frac{\epsilon(p)}{G(p)} -\epsilon(p)H(p)


D’où en multipliant tout par -1 :

 \epsilon(p) = \frac{G(p)}{1+G(p)H(p)}P(p)


On retrouve bien la même contribution à l’erreur qu’au paragraphe précédent.

3.2.6- Calcul de l’erreur due à une perturbation en échelon

La fonction échelon est définie dans le domaine de Laplace par : P(p) = \frac{P_{0}}{p}.
On calcule l’erreur dûe aux perturbations, pour cela on pose H(p) \sim_{0} \frac{K_{H}}{p^{\alpha_{H}}} et G(p) \sim_{0} \frac{K_{G}}{p^{\alpha_{G}}}, on regarde suivant les valeurs de \alpha_{H} et \alpha_{G} la contribution à l’erreur.

Théorème de la valeur finale :

 \lim_{t \rightarrow  \infty} \epsilon (t) =\lim_{p \rightarrow  0} p \epsilon (p)

Soit :

  = \lim_{p \rightarrow  0} p \times \frac{G(p)}{1+G(p)H(p)} P(p)= \lim_{p \rightarrow  0} p \frac{\frac{K_{G}}{p^{\alpha_{G}}}}{1+\frac{K_{G}}{p^{\alpha_{G}}}\frac{K_{H}}{p^{\alpha_{H}}}} \frac{P_{0}}{p}


On étudie donc :

 \lim_{p \rightarrow  0}  \frac{\frac{P_{0}K_{G}}{p^{\alpha_{G}}}}{1+\frac{K_{G}K_{H}}{p^{\alpha_{G}+\alpha_{H}}}}

  • si  \alpha_{G} =0 et \alpha_{H}=0 alors \epsilon_{s}=\frac{P_{0}K_{H}}{1+K_{H}K_{G}}
  • si  \alpha_{G} =0 et \alpha_{H}=1,2,3 alors \epsilon_{s}=\frac{P_{0}}{1+K_{G}}
  • si  \alpha_{G} =1,2,3 et \alpha_{H}=1,2,3 alors \epsilon_{s}=0

On dresse un tableau récapitulatif de l’erreur due aux perturbations :

\epsilon_{s} \alpha_{G}=0 \alpha_{G}=1,2,3
\alpha_{F}=0 \frac{P_{0}K_{F}}{1+K_{F}K_{G}} 0
\alpha_{F}=1,2,3 \frac{P_{0}}{K_{G}} 0

3.3- Rapidité

3.3.1- Définition

Pour caractériser la rapidité on va calculer le temps que mets le système soumis à une entrée échelon à atteindre sa valeur finale à \mp 5 \% et à rester dans l’intervalle [\mp 5 \%] de la valeur finale.

3.3.1.1- Remarque

La valeur finale (en bleu) n’est pas nécessairement la consigne (en rouge) si l’erreur statique est non nulle (voir ci-dessous) :

3.3.2- Rapidité d’un système du premier ordre

Pour un système du premier ordre le temps de réponse à 5 \% est de 3 \tau.

 T_{r 5\%}= 3 \tau

3.3.3- Rapidité d’un système du second ordre

Pour un système du second ordre on n’a pas de formule simple comme pour un premier ordre. On va se servir d’une abaque :

Dans les sujets on souhaitera soit :

  • le temps de réponse le plus court possible : on se réglera alors \xi à \approx 0,7
  • le temps de réponse le plus petit possible avec la contrainte supplémentaire qu’il n’y ait pas de dépassement : on se réglera alors \xi à 1
3.3.3.1- Remarque importante

Un système à bande passante élevée est un système rapide.

3.3.4- Calcul de \xi optimal pour un dépassement de 5\%

Le premier dépassement doit être de 5\%, on doit résoudre (cf chapitre rapidité) :

 \text{premier dépasement} = 0.05 \text{valeur finale}

 KE_{0}e^{-\frac{\xi \pi}{\sqrt{1-\xi^{2}}t}} = 0.05 KE_{0}

On simplifie par KE_{0} puis on prend le ln des deux expressions :

e^{ \frac{ -\xi \pi}{ \sqrt{1- \xi^{2} }}}=0.05


\frac{-\xi \pi}{ \sqrt{1-\xi^{2}}}= ln(0.05)

\xi^{2} \pi^{2}=(ln(0.05))^{2}(1-\xi^{2})

 \xi=\sqrt{\frac{(ln(0.05))^{2}}{\pi^{2}+(ln(0.05))^{2}}} \approx 0.69

3.4- Dépassement

3.4.1- Définition

Le dépassement s’observe en régime temporel lorsque la sortie devient supérieure ("dépasse") la valeur finale.
Pour caractériser le dépassement on exprime le dépassement en pourcentage \% par rapport à la valeur finale.

3.4.2- Remarque

Tout comme le temps de réponse, le dépassement compare la sortie à la valeur finale et non à la consigne.

3.4.3- Dépassement d’un système du premier ordre

Pour un système du premier ordre il n’y a pas de dépassement.

3.4.4- Rapidité d’un système du second ordre

Pour un système du second ordre pour \xi<1 il y a un dépassement sa valeur se calcule par :

\text{sortie(t)-valeur finale(t)}=KE_{0}+ e^{-\xi \omega_{0} t} (-KE_{0} cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)  -\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)-KE_{0}

=e^{-\xi \omega_{0} t} (-KE_{0} cos( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)  -\frac{\xi K E_{0}}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0}\sqrt{1- \xi^{2}}t)


Pour trouver les maxima on dérive cette expression, les cosinus se simplifient :


e^{-\xi \omega_{0} t} (KE_{0}\sqrt{1-\xi^{2}}+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}} sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}) =0


En simplifiant par KE_{0}\omega_{0}e^{-\xi \omega_{0} t} :

(\sqrt{1-\xi^{2}}+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}}) sin( \omega_{0} \sqrt{1-\xi^{2}}t) =0

Les dates t_{k} qui correspondent au i-ème dépassement sont les dates qui annulent le sinus.

  t_{k}=\frac{k \pi}{\omega_{0} \sqrt{1- \xi^{2}}}

Le dépassement qui correspond à ces dates t_{k} s’obtient en remplaçant t_{k}=\frac{k \pi}{\omega_{0} \sqrt{1- \xi^{2}}} dans l’expression du déplacement :

=(-1)^{k+1} KE_{0}e^{-\xi  \frac{k \pi}{ \sqrt{1- \xi^{2}}}}

3.4.5- Abaque de dépassement pour un second ordre

On lit l’abaque de dépassement à un \xi (abcisse) donné le nombre de courbes franchies sont le nombre de dépassements leur amplitude en pourcentage \% de la valeur finale est donnée par l’ordonnée :

3.5- Résonance

3.5.1- Résonance
3.5.1.1- Expérience

Le phénomène de résonance a lieu lors d’une analyse fréquentielle. En clair, le système est soumis à une entrée sinusoïdale de pulsation \omega. On compare l’amplitude de la sortie sur l’amplitude de la consigne. On remarque que pour certaines pulsations \omega le rapport de la sortie sur l’entrée prend des grandes valeurs : c’est le phénomène de résonance.

3.5.1.2- Définition
3.5.1.3- Résonance d’un système du second ordre

Un système du second ordre est défini par l’équation différentielle suivante :

 \frac{1}{\omega_{0}^{2}} \frac{d^{2} s}{dt^{2}} + \frac{2 \xi}{\omega_{0}} \frac{ds(t)}{dt} +s(t) =Ke(t)


Ce qui se traduit dans le domaine de Laplace par :

 H(p) = \frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}p^{2}}

On passe cette fonction dans le domaine fréquentiel en remplaçant p par j \omega dans H(p).

 H(\omega) = \frac{K}{1-(\frac{\omega}{\omega_{0}})^{2}+j\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega}

 |H(\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_{0}})^{2})^{2}+(\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega)^{2}}}

Dire que le système présente de la résonance c’est dire que la fonction de transfert présente un maximum. Dire que |H(\omega)| présente un maximum revient à dire que le dénominateur présente un minimum (qui n’est pas une borne de l’intervalle) ou autrement dit que la dérivée du dénominateur s’annule.

\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_{0}})^{2})^{2}+(\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega)^{2}} ’ = 0 \Leftrightarrow ((1-(\frac{\omega}{\omega_{0}})^{2})^{2}+(\frac{2 \xi}{\omega_{0}}\omega)^{2})’ =0

3.5.1.4- Abaque de Black Nichols

On suppose connue la FTBO d’un système à retour unitaire :

FTBO=z


On cherche à connaitre la FTBF=\frac{FTBO}{1+FTBO}=\frac{z}{1+z}

Attention : ceci n’est vrai que pour un système à retour unitaire

L’abaque de Black Nichols met en correspondance la FTBO et la FTBF d’un système à retour unitaire.L’abaque comporte deux systèmes de coordonnées :

  • des coordonnées rectangulaires (\phi_{FTBO},G_{db,FTBO})
  • en abcisse \phi_{FTBO}
  • en ordonnée G_{db,FTBO}
  • des coordonnées curvilignes (\phi_{FTBF},G_{db,FTBF})
  • en abcisse \phi_{FTBF}
  • les ellipses G_{db,FTBF}

Connaissant (\phi_{FTBO},G_{db,FTBO}) on déduit par utilisation de l’abaque de Black Nichols (\phi_{FTBF},G_{db,FTBF}) ce qui va nous être utile pour régler le gain en contrôlant le phénomène de résonance.

3.5.1.5- Réglage de la résonance

Pour régler la résonance on utilise l’abaque de black Nichols.
Un critère classique est de régler la surtension à Q=1.3 c’est à dire que la courbe de la FTBO doit venir tangenter le contour à 2.3dB dit contour de Hall.

3.6- Stabilité

3.6..1- Définition 1

Un système est stable si à une entrée bornée la sortie du système est bornée.

3.6.1.1- Définition 2

Un système est stable si écarté de sa position d’équilibre il tend à y revenir.

3.6.1.2- Introduction

Un système instable est un système qui va s’emballer.

On essaie ici d’appréhender ce phénomène d’instabilité dans le but d’ajuster la commande afin qu’il ne s’emballe pas.

On s’intéresse au système modélisé comme suit :

On peut écrire la fonction de transfert en boucle fermée :

S(p) = H(p) E(p)


avec FTBO(p)=F(p)G(p) la fonction de transfert en boucle ouverte :

 H(p) = \frac{F(p)}{1+ FTBO(p)}

Pour appréhender l’instabilité on a deux approches :

  • Soit on s’intéresse à la décomposition de S(p) = H(p) E(p) en éléments simples comme on a fait au début du cours. On regarde si la décomposition va donner des exponentielles croissantes (i.e e^{at} \text{ avec } a>0), [ou des fonctions affines] . C’est le point de vue de Routh.
  • Soit on regarde le dénominateur de H(p) à savoir 1+FTBO(p) en se disant qu’on aura des problèmes de stabilité lorsque 1+FTBO(p)=0 en d’autres termes lorsque FTBO(p)=-1 : ainsi on appelle ce point -1 le point critique
  • (-1,0) en coordonnées cartésiennes
  • (1,-180°) en coordonnées polaires (cf Nyquist)
  • (0,-180°) lorsqu’on écrit module en log : (20 log ( \rho )) (cf Bode)

Ces points de vue sont résumés dans le tableau :

Approche critère de Routh marge de gain, marge de phase
Fonction de transfert FTBF FTBO
3.6.2- Critère de Routh
3.6.2.1- Remarque très importante

Le critère de Routh se calcule sur la FTBF.

3.6.2.2- Théorème

Soit un système de fonction de transfert en boucle fermée :

FTBF(p) = a_{n} p^{n} +a_{n-1} p^{n-1}+a_{n-2} p^{n-2}+...+a_{1} p+a_{0}

p^{n} a_{n} a_{n-2} a_{n-2} ...
p^{n-1} a_{n-1} a_{n-3} ...
p^{n} c_{1} c_{2} c_{3}
p^{n-2} c_{4} c_{5} c_{6}
p^{n-2} c_{4} c_{5} c_{6}
\vdots
p^{n}

On calcule :

 c_{1} = -\frac{1}{a_{n-1}} \pmatrix{
 a_{n} & a_{n-2} \cr
 a_{n-1}& a_{n-3} \cr
} \text{ , }  c_{1} = -\frac{1}{a_{n-1}} \pmatrix{
 a_{n} & a_{n-2} \cr
 a_{n-1}& a_{n-3} }

Le système est stable si tous les pivots sont de même signe.

3.6.2.3- Exemple

On considère le système suivant de FTBF :

FTBF= \frac{1}{p^{3}+p^{2}-2}

p^{3} 1 0 0
p^{2} 1 -2 0
p a_{1} a_{2} 0
1 b_{1} b_{2} 0

a_{1} = -\frac{1}{1}
\pmatrix{
   1  & 0 \cr
   1  &  -2 \cr}
=2

a_{2} = -\frac{1}{1}
\pmatrix{
   1  & 0 \cr
   1  &  0 \cr}
=0

b_{1} = -\frac{1}{2}
\pmatrix{
   1  & -2 \cr
   1  &  0 \cr}
=-2<0

Finalement :

p^{3} 1 0 0
p^{2} 1 -2 0
p 2 a_{2} 0
1 -2 b_{2} 0

Un pivot est de signe négatif : le système est instable.

3.6.3- Marge de gain, marge de phase
3.6.3.1- Critères de stabilité dans Bode

La marge de phase sur le diagramme de Bode s’obtient en calculant :

 180° - \Phi(\omega_{0dB})

\omega_{0dB} est la pulsation telle que le module de |H(j \omega )|=1 où encore en Décibel |H(j \omega )|_{dB}=0dB.

3.6.3.2- Exemples
Stable Stable Instable
H(j\omega) = \frac{3}{3+3p+4p^{2}+p^{3}} H(j\omega) = \frac{6}{6+3p+4p^{2}+p^{3}} H(j\omega) = \frac{60}{3+3p+4p^{2}+p^{3}}

La marge de gain sur le diagramme de Bode s’obtient en calculant :

 0dB - |H(j\omega_{180°})|_{dB}

\omega_{180°} est la pulsation telle que l’argument de arg(H(j \omega ))=180°.

On a vu précédemment qu’un système du premier ou du second ordre est toujours stable on présente ici des systèmes d’ordre supérieur : certains stables d’autres instables.

Fonction de transfert
en boucle ouverte : FTBO
\frac{1}{1+3p+3p^{2}+p^{3}} \frac{10}{1+3p+3p^{2}+p^{3}}
Bode gain :
Bode phase :
Nyquist :
Black :
3.6.3.3- Critère du revers de Nyquist

Le système est stable si lorsqu’on parcourt la FTBO(\omega) dans le plan complexe pour des \omega croissants on laisse le point critique (-1,0) à gauche.

Stable Instable
H(j\omega) = \frac{1}{p(1+\tau p)} H(j\omega) = \frac{1}{p^{2}(1+\tau p)}
pôles : 0,\frac{-1}{\tau} pôles : 0,0,\frac{-1}{\tau}
3.6.3.4- Critère de Black

Le système est stable si lorsqu’on parcourt la FTBO(\omega) dans le plan de Black pour des \omega croissants on laisse le point critique (-1,0) à droite.

3.7- Correction

3.7.1- Position du correcteur

Dans le cadre du cours on place TOUJOURS le correcteur juste à la sortie du comparateur.

3.7.2- Correction proportionnelle K

La correction proportionnelle K consiste à placer un gain pur réglable à la sortie du comparateur afin d’optimiser la commande.

Correction proportionnelle K Précision Rapidité Stabilité Dépassements
si K  \nearrow \nearrow \nearrow \searrow augmentent ou apparaissent
3.7.3- Correction proportionnelle intégrale(PI) K\frac{1 + aT}{1+T} avec a>1

La correction proportionnelle intégrale consiste à placer un bloc K\frac{1 + aT}{1+T} avec a>1 à la sortie du comparateur afin d’optimiser la commande.

Le diagramme du correcteur à avance de phase( a=1, K=10, T=1)

3.7.4- Etude du correcteur à avance de phase

 H(p)=K\frac{1+aTp}{1+Tp}

En passant dans le domaine fréquentiel on remplace la variable p par la variable j \omega :

 H(\omega)=K\frac{1+jaT\omega}{1+jT\omega}

3.7.4.1- Calcul du gain

Calculons le gain en décibel de H(\omega) :

 |H(\omega )|_{dB}=20log(|K\frac{1+jaT \omega}{1+jT \omega }|)


or le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes :

 |H(\omega )|_{dB}=20log(|K|)+20log(|\frac{1+jaT \omega }{1+jT \omega }|)


or le logarithme d’un quotient est le quotient des logarithmes :

 |H( \omega ) |_{dB} = 20log( |K| )+20log( |1+jaT \omega |) -20log(| 1+ j T \omega |)


puis en calculant le module d’un complexe :

 |H( \omega )|_{ dB }=20log(K)+20log(\sqrt{ 1+( a T \omega )^{2}})-20log(\sqrt{1+(T \omega )^{2}})


en utilisant le fait que n \text{ } ln(x)=ln(x^{n}) :

 |H( \omega )|_{ dB }=20log(K)+10log( 1+( a T \omega )^{2})-10log(1+(T \omega )^{2})

3.7.4.2- Calcul de la phase

Calculons la phase de H(\omega :

 \Phi(H(\omega))= arg(K\frac{1+jaT\omega}{1+jT\omega})

or l’argument du produit est la somme des arguments :

 \Phi(H(\omega))= arg(K)+arg(\frac{1+jaT\omega}{1+jT\omega})

or l’argument du quotient est la différence des arguments :

 \Phi(H(\omega))= 0+arg(1+jaT\omega) -arg(1+jT\omega)

puis en explicitant l’argument d’un complexe :

 \Phi(H(\omega))= arctan(aT\omega) -arctan(T\omega)

3.7.4.3- Calcul de la phase maximale

On dérive l’arctan en se souvenant que arctan(kx)’=\frac{k}{1+(kx)^{2}}

On a :

\Phi(H(\omega))’= arctan(aT\omega)’ -arctan(T\omega)’=0

\Phi(H(\omega))’= \frac{aT}{1+(aT\omega)^{2}} - \frac{T}{1+(T\omega)^{2}}=0

En mettant sous le même dénominateur on obtient :

  \frac{aT(1+(T\omega)^{2})- T(1+(aT\omega)^{2})}{(1+(aT\omega)^{2})(1+(T\omega)^{2})} =0

On cherche à annuler le numérateur :

 TaT(1+(T\omega)^{2})- T(1+(aT\omega)^{2}) =0

On simplifie par T :

 (a-1)+a(1-a)(T^{2}\omega^{2}) =0

 \omega^{2} = \frac{1}{aT^{2}} \text{ soit } \omega = \frac{1}{\sqrt{a}T}

On remplace \omega = \frac{1}{\sqrt{a}T} dans l’expression de la phase arctan(aT\omega) -arctan(T\omega) :

 arctan(aT\frac{1}{\sqrt{a}T}) -arctan(T\frac{1}{\sqrt{a}T})


\Phi_{maxi} =arctan(\sqrt{a}) -arctan(\frac{1}{\sqrt{a}})

On montre en annexe que cette équation peut s’écrire :

sin(\phi)=\frac{a-1}{1+a}

Correcteur Transformée de Laplace Précision Rapidité Stabilité Dépassements
avance de phase K\frac{1 + aT}{1+T} \searrow \nearrow /nearrow \searrow faiblement
3.7.4.4- placement de la correction à avance de phase

On place un correcteur à avance de phase à \omega_{critique} afin de redonner de la phase pour augmenter les marges de stabilité.

3.7.4.5- Calcul annexe

\Phi_{maxi} =arctan(\sqrt{a}) -arctan(\frac{1}{\sqrt{a}})

or on sait qu’en trigonométrie :

tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}

de plus d’après le diagramme de bode \phi \in [0°,90°] donc cos(\phi)=\sqrt{1-sin^{2}(\phi)} :

tan(\phi)=\frac{\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}}{2} \text{ avec }tan(\phi)= \frac{sin(\phi)}{cos( \phi)}=\frac{sin(\phi )}{\sqrt{1-\sin^{2}(\phi)}}

On élève chaque membre au carré :

 (\frac{sin(\phi)}{\sqrt{1-sin^{2}(\phi)}})^{2}=(\frac{\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}}{2})^{2} \Leftrightarrow  \frac{sin^{2}}{1- sin^{2} (\phi)}=\frac{a+\frac{1}{a}-2}{4}

4\sin^{2}(\phi)=(a+\frac{1}{a}-2)(1-sin^{2}(\phi)

(a+2+\frac{1}{a}) sin^{2}(\phi)=(a+\frac{1}{a}-2)

On peut mettre ce résultat sous forme de quotient de carrés :

 sin^{2}(\phi)=\frac{(a+\frac{1}{a}-2)}{(a+2-\frac{1}{a})}=\frac{(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}

On prend la racine carré, puis on multiplie haut et bas par \sqrt{a} on obtient :

sin(\phi)=\frac{a-1}{a+1}

3.7.5- Correction proportionnelle dérivée (PD)K\frac{1 + T}{1+bT} avec b>1

La correction proportionnelle dérivée consiste à placer un bloc K\frac{1 + T}{1+bT} avec b>1 à la sortie du comparateur afin d’optimiser la commande.

Le diagramme du correcteur à retard de phase( b=1, K=10, T=1)

3.7.5.1- Calcul de la phase

Calculons la phase de H(\omega :

 \Phi(H(\omega))= arg(K\frac{1+jT\omega}{1+jbT\omega})

or l’argument du produit est la somme des arguments :

 \Phi(H(\omega))= arg(K)+arg(\frac{1+jT\omega}{1+jbT\omega})

or l’argument du quotient est la différence des arguments :

 \Phi(H(\omega))= 0+arg(1+jT\omega) -arg(1+jbT\omega)

puis en explicitant l’argument d’un complexe :

 \Phi(H(\omega))= arctan(T\omega) -arctan(bT\omega)

3.7.5.2- Calcul de la phase minimale

On dérive l’arctan en se souvenant que arctan(kx)’=\frac{k}{1+(kx)^{2}}

On a :

\Phi(H(\omega))’= arctan(T\omega)’ -arctan(bT\omega)’=0

\Phi(H(\omega))’= \frac{T}{1+(T\omega)^{2}} - \frac{bT}{1+(bT\omega)^{2}}=0

En mettant sous le même dénominateur on obtient :

  \frac{T(1+(bT\omega)^{2})- bT(1+(T\omega)^{2})}{(1+(T\omega)^{2})(1+(bT\omega)^{2})} =0

On cherche à annuler le numérateur :

 T(1+(bT\omega)^{2})- bT(1+(T\omega)^{2}) =0

On simplifie par T :

 (1-b)+b(b-1)(T^{2}\omega^{2}) =0

 \omega^{2} = \frac{1}{bT^{2}} \text{ soit } \omega = \frac{1}{\sqrt{b}T}

On remplace \omega = \frac{1}{\sqrt{b}T} dans l’expression de la phase arctan(T\omega) -arctan(bT\omega) :

 arctan(T\frac{1}{\sqrt{b}T}) -arctan(bT\frac{1}{\sqrt{b}T})


\Phi_{maxi} =arctan(\frac{1}{\sqrt{b}}) -arctan(\sqrt{b})

On montre en annexe que cette équation peut s’écrire :

sin(\phi)=\frac{1-b}{1+b}

3.7.5.3- Calcul annexe

\Phi_{maxi} =arctan(\frac{1}{\sqrt{b}}) -arctan(\sqrt{b})

or on sait qu’en trigonométrie :

tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}

de plus d’après le diagramme de bode \phi \in [-90°,0°] donc cos(\phi)=\sqrt{1-sin^{2}(\phi)} et sin(\phi)<0° :

tan(\phi)=\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}}{2} \text{ avec }tan(\phi)= \frac{sin(\phi)}{cos( \phi)}=\frac{sin(\phi )}{\sqrt{1-\sin^{2}(\phi)}}

On élève chaque membre au carré :

 (\frac{sin(\phi)}{\sqrt{1-sin^{2}(\phi)}})^{2}=(\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}}{2})^{2} \Leftrightarrow  \frac{sin^{2}}{1- sin^{2} (\phi)}=\frac{\frac{1}{b}+ b-2}{4}

4\sin^{2}(\phi)=(\frac{1}{b}+ b-2)(1-sin^{2}(\phi)

(\frac{1}{b}+ b+2) sin^{2}(\phi)=(\frac{1}{b}+b-2)

On peut mettre ce résultat sous forme de quotient de carrés :

 sin^{2}(\phi)=\frac{(\frac{1}{b}+b-2)}{(\frac{1}{b}+b+2)}=\frac{(\frac{1}{\sqrt{b}}-\sqrt{b})^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{b})^{2}}

On prend "MOINS" la racine carré car \phi \in [-90°,0°] et donc \sin(\phi)<0, puis on multiplie haut et bas par \sqrt{b} on obtient :

sin(\phi)=\frac{1-b}{1+b}

Correcteur Transformée de Laplace Précision Rapidité Stabilité Dépassements
retard de phase K\frac{1 + T}{1+bT} \nearrow \searrow = peu d’influence
3.7.5.4- placement du correcteur à retard de phase

On place un correcteur à avance de phase une décade avant \omega_{critique} afin d’amplifier le gain en basses fréquences (précision \nearrow) à une décade pour ne pas rajouter de gain au voisinage du point critique.

3.7.6- Correction proportionnelle intégrale dérivée (PID)

++++

 4- Bilan

4.1- Transformée de Laplace

4.1.1- Transformée de Laplace d’une fonction quelconque
fonction temporelle transformée de Laplace
f(t) F(p)
f’(t) pF(p)-f(0^{+})
f’’(t) p^{2} F(p) - p f(0^{+}) - f’(0^{+})
g(t) telle que g’(t) = f(t) \frac{G(p)}{p} + \frac{g(0^{+})}{p}
4.1.2- Transformée de Laplace des fonctions usuelles
fonction temporelle f(t) transformée de Laplace F(p)
échelon f(t)=E_{0} \frac{E_{0}}{p}
échelon unitaire f(t)=1 \frac{1}{p}
impulsion d’aire 1 :f(t)=\delta(t) 1
rampe de coefficient a : f(t)= a t \frac{a}{p^{2}}
sinusoïde d’intensité E_{0} : f(t)= E_{0} sin( \omega t)
sinusoïde d’intensité 1 : : f(t)= sin( \omega t)
e(t)= e^{-\frac{t}{a}} \frac{1}{p+a}

4.2- Fiche bilan premier ordre (analyse temporelle)

système Premier ordre (K,\tau) Second ordre (K,\xi,\omega_{0})
shema bloc
échelon :
rampe : a

4.3- Précision


4.3.1- Définition


 ERREUR = CONSIGNE-SORTIE


erreur (t) = e(t) - s(t)


Erreur (p) = E(p) - S(p)



4.3.2- Remarque


L’écart \epsilon et l’erreur E(p)-S(p) sont deux choses différentes si le retour n’est pas unitaire. Voir ci dessous :

L’erreur et l’écart diffèrent (a \neq 1) L’erreur et l’écart sont égaux (a=1)
Le retour n’est pas unitaire Le retour est unitaire
schéma bloc
erreur Erreur(p) = E(p)-S(p) Erreur(p) = E(p)-S(p)
écart \epsilon = E(p) - a S(p) \epsilon = E(p) - 1 \times S(p)
4.3.3- Résultats pour des système à retour unitaire
4.3.4- Système sans perturbation

Pour un système à retour unitaire de la forme :

avec F(p)=\frac{K}{p^{\alpha}}\frac{1+b_{1}p+b_{2}p^{2}+...}{1+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...}

On a :

consigne f(t) F(p) \alpha =0 \alpha =1 \alpha=2,3...
erreur en position e(t) = E_{0} u(t) E(p) = \frac{E_{0}}{p} \frac{E_{0}}{1+K} 0 0
erreur en vitesse e(t) = a t u(t) E(p) = \frac{a}{p^{2}} \infty \frac{a}{K} 0
4.3.5- Système avec perturbation

On considère un système à retour unitaire de la soumis à une consigne E(p) et une perturbation P(p) :

 \epsilon (p) = \frac{1}{1+H(p) G(p)}
E(p) + \frac{G(p)}{1+H(p) G(p)}P(p)

4.3.6- Erreur due à la perturbation, l’erreur est un échelon d’intensité P_{0}
\epsilon_{s} \alpha_{G}=0 \alpha_{G}=1,2,3
\alpha_{F}=0 \frac{P_{0}K_{F}}{1+K_{F}K_{G}} 0
\alpha_{F}=1,2,3 \frac{P_{0}}{K_{G}} 0

Discussion sur cet article

Une question, une réaction sur ce sujet?

modération a priori

Ce forum est modéré a priori : votre contribution n’apparaîtra qu’après avoir été validée par un administrateur du site.

Qui êtes-vous ?
Votre message

Pour créer des paragraphes, laissez simplement des lignes vides.